Question

(FUVEST 2010)-Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo a1 +3, a2 - 3, a3 - 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a:A) 3 + √3B) 3 + ((√3)/2)C) 3 + ((√3)/4)D) 3 - ((√3)/2)E) 3 - √3. (alternativa correta "E", porém não consegui chegar ao raciocínio).

Answer 1

Na PA a1, a2, a3... podemos usar a propriedade da média em a2 :

a2 = (a1 + a3) / 2 ⇒ Do enunciado, a2 = 2

2 = (a1 + a3) / 2

(a1 + a3) = 2 * 2

(a1 + a3) = 4 ⇒ Primeira relação !

Na PG (a1 + 3), (a2 - 3), (a3 - 3)... podemos usar a propriedade da média de novo em a2 :

(a2 - 3)² = (a1 + 3) * (a3 - 3) ⇒ Sendo a2 = 2 :

(2 - 3)² = (a1 + 3) * (a3 - 3)

-1² = (a1 + 3) * (a3 - 3)

(a1 + 3) * (a3 - 3) = 1 ⇒ Fazendo a distributiva :

(a1 * a3) - (3 * a1) + (3 * a3) - 9 = 1

(a1 * a3) - (3 * a1) + (3 * a3) = 9 + 1

(a1 * a3) - (3 * a1) + (3 * a3) = 10 ⇒ Segunda relação !

Da primeira relação, temos que (a1 + a3 = 4)... Vou isolar a3 :

a1 + a3 = 4

a3 = 4 - a1 ⇒ Substituindo na segunda relação :

(a1 * a3) - (3 * a1) + (3 * a3) = 10

(a1 * (4 - a1)) - (3 * a1) + (3 * (4 - a1)) = 10

4 * a1 - a1² - 3 * a1 + 12 - 3 * a1 = 10 ⇒ "Organizando" :

-a1² + 4 * a1 -  3 * a1 - 3 * a1 + 12 = 10

-a1² + 4 * a1 - 6 * a1 + 12 = 10

-a1² - 2 * a1 + 12 = 10 

-a1² - 2 * a1 + 12 - 10 = 0

-a1² - 2 * a1 + 2 = 0 ⇒ Por Bháskara ('a' = -1, 'b' = -2, 'c' = 2) 

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = (-2)² - 4 * (-1) * 2

Δ = 4 + 8

Δ = 12 e, por consequência, fatorando 12, √Δ = +- (2* √3)

a1' = -b + √Δ / (2 * a)

a1' = (-(-2) +  2* √3) / (2 * -1)

a1' = (2 + 2 * √3) / -2 ⇒ O sinal negativo embaixo inverte os sinais !

a1' = (-2 - 2 * √3) / 2 ⇒ Simplificando por 2 :

a1' = -1 - √3 ⇒ Dado o enunciado, essa raiz não vale, pois a1 > 0... só nos sobra a1'' :

a1'' = -b - √Δ / (2 * a)

a1'' = (-(-2) -  2* √3) / (2 * -1)

a1'' = (2 - 2 * √3) / -2 ⇒ O sinal negativo embaixo inverte os sinais !

a1'' = (-2 + 2 * √3) / 2 ⇒ Simplificando por 2 :

a1'' = -1 + √3 ⇒ "Organizando" : 

a1'' = √3 - 1 ⇒ É válido, pois √3 - 1 > 0 ! (Lógico que considerando a raiz positiva de √3. Se considerarmos as duas raízes, ambos a1' e a1'' seriam válidos, enfim,dá na mesma)...

Por fim, para a PA :

r = an - a(n - 1)

r ⇒ Razão da PA;
n ⇒ n-ésima posição...

Sendo n = 2, temos :

r = a2 - a(2 -1)

r = a2 - a1 ⇒ Sendo : a2 = 2 e a1 = √3 - 1:

r = 2 - (√3 - 1) 

r = 2 - √3 + 1

r = 3 - √3 ⇒ Razão da PA ! (Logo, alternativa 'E')...

(a3 = 5 - √3...)