Question

Funções trigonométricas 
Por favor, se alguém souber como resolver este problema me ajude!

As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplesmente, pela função seno. Suponhamos que, para determinado porto, a variação da altura (h) da lâmina de água em função das horas (t) do dia seja dada pela função trigonométrica $h(t) = 10 + 4 . sen( \frac{t \pi }{12})$.

Considerando a equação acima, o período do dia em que um navio com 12 metros de casco pode permanecer no porto é de:
a) Entre 3 e 11 horas
b) Entre 4 e 10 horas
c) Entre 2 e 10 horas
d) Entre 1 e 2 horas
e) Entre 10 e 11 horas.

Answer 1

$\boxed{h(t)=10+4*sen( \frac{t \pi }{12} )}$

t = tempo em horas
h = altura da lâmina de água

então quando vc substituir t por um valor irá encontrar o valor da altura  de água


"Considerando a equação acima, o período do dia em que um navio com 12 metros de casco pode permanecer no porto "

para o navio ficar no porto a altura da água deve ser maior que 12metros 
se não ele fica encalhado certo? 

então:

$\boxed{h(t)>12}\\\\\\\\10+4*sen( \frac{t \pi }{12} )>12\\\\4*sen (\frac{t\pi}{12}) >12-10\\\\\ 4*sen (\frac{t\pi}{12}) >2\\\\sen (\frac{t\pi}{12}) > \frac{2}{4} \\\\\boxed{sen (\frac{t\pi}{12}) > \frac{1}{2} }$

agora voce tem que procurar arcos com seno maior 1/2

vou colocar a imagem do circulo trigonométrico 
vc poderá ver que que são todos que estão entre
$\frac{5 \pi }{6} ;; \frac{\pi }{6}$

é só vc olhar no eixo do seno (eixo y) e encontrar o valor 1/2

o seno que estamos procurando está entre $\frac{5 \pi }{6} ;; \frac{\pi }{6}$

$\frac{5 \pi }{6}< \frac{t \pi }{12} \\\\ 12*\frac{5 \pi }{6}  e também [tex]\frac{t \pi }{12}> \frac{ \pi }{6} \\\\t \pi > \frac{12 \pi }{6} \\\\t \pi >2 \pi \\\\t>2$


o período será entre 2  e 10horas

resposta C

Answer 2

O período do dia em que um navio com 12 metros de casco pode permanecer no porto é entre 2 e 10 horas.

Para que um navio com 12 metros de casco possa permanecer no porto, a altura da maré deve ser menor que 12 metros. Devemos encontrar t tal que h(t) < 12, então temos:

12 < 10 + 4.sen(tπ/12)

2 < 4.sen(tπ/12)

1/2 < sen(tπ/12)

Para que o valor do seno seja 1/2, o parâmetro da função deve ser π/6 ou 5π/6, então:

tπ/12 = π/6

t = 12(π/6)/π

t = 2 horas

tπ/12 = 5π/6

t = 12(5π/6)/π

t = 10 horas

Resposta: C

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