Question

Função Quadrática: Um artigo de economia publicado em 2010 previu que a dívida pública de um certo Estado até 2030 pode ser estimada pela lei: y=4/5x2-8x+80, sendo y o valor da dívida( em milhões de reais) e x o número de anos contado a partir de 2010(x=0)
a) Qual o menor valor atingido pela dívida desse Estado e em que ano esse valor será atingido?
b) O artigo que se a dívida oscilar entre 140 e 185 milhões de reais( incluindo tais valores) não será necessário ajuda da União. Em que anos, então, o Estado dispensará ajuda da União?

Answer 1

Da expressão dada, temos:
y = 4/5x²-8x + 80
Para encontrarmos o valor mínimo da função, temos que encontrar o vértice da parábola. Assim, temos:
V(-2/2a, -Δ/4a)
Daí, vem:
a = 4/5
b = -8
c = 80
Portanto, é necessário encontrarmos o valor do discriminante delta (Δ). Assim, temos:
Δ = b² - 4ac∴
Δ = (-8)² - 4.(4/5).80∴
Δ = 64 - 256
Δ = -192

Logo, o Yv = -Δ/4a que é o menor valor atingido pela dívida.
Yv = -(-192)/4.4/5∴
Yv = 192/(16/5)∴
Yv = (192/1)*(5/16)∴
Yv = 960/16∴
Yv = 60

Para o cálculo do ano em que essa dívida alcançará o menor valor, calculamos o valor do Xv. Assim, temos:
Xv = -b/2a∴
Xv = -(-8)/2*(4/5)∴
Xv = 8/(8/5)∴
Xv = (8/1)*(5/8)∴
Xv = 5∴

Como 2010(x=0), então x = 5 corresponde ao ano de 2015.

Resposta Letra A: O menor valor atingido foi 60 milhões de reais e ocorreu no ano de 2015.

Vamos calcular os intervalos de dispensa da dívida. Assim, temos:
Para y = 140 , vem:
4/5x²-8x + 80 = 140∴
4/5x² - 8x + 80 - 140∴
4/5x² - 8x - 60∴
a = 4/5
b = -8
c = -60
Δ = b² - 4ac∴
Δ = (-8)²-4*(4/5)*(-60)∴
Δ = 64 + 192∴
Δ = 256
x = -b+-√Δ/(2a)∴
x = -(-8)+-√256/(2*4/5)∴
x = (8+-16)/(8/5)∴
x1 = (8 + 16)/(8/5)∴
x1 = (24/1)*(5/8)∴
x1 = 120/8∴
x1 = 15
x2 = (8-16)/(8/5)∴
x2 = (-8/1)*(5/8)∴
x2 = -40/8∴
x2 = -5 (não convém, pois o valor está relacionado a tempo e não pode ser negativo)

Então iremos calcular o outro limite. Assim, temos: y = 185.
4/5x² - 8x + 80 = 185∴
4/5x² - 8x + 80 - 185 = 0∴
4/5x² - 8x - 105 = 0
a = 4/5
b = -8
c = - 105

Δ = b² - 4ac∴
Δ = (-8)² - 4*(4/5)*(-105)∴
Δ = 64 + 336∴
Δ = 400

x = -b+-√Δ/2a∴
x = -(-8)+-√400/2*(4/5)∴
x = 8 +-20/(8/5)∴
x1 = (8+20)/(8/5)∴
x1 = (28/1)*(5/8)∴
x1 = 140/8 = 17,5

x2 = (8 - 20)/(5/8)∴
x2 = (-12/1)*(8/5)∴
x2 = -96/5 (não convém valor negativo)

Como 2010 (x=0), logo x= 15 ==> ano de 2025 e x = 17,5 ==> até junho de 2027.

Resposta Letra B: O Estado dispensará a ajuda da União do ano de 2025 até junho de 2027.

Espero ter ajudado!