Question

FUNÇÃO MODULAR:
*Resolva as seguintes inequaçoes:
|x²-3x-4|≤6

Answer 1

$|x^{2}-3x-4|\leq 6\\ \\ -6\leq x^{2}-3x-4 \leq 6$


Somando $4$ a todos os membros da dupla desigualdade:

$-6+4\leq x^{2}-3x \leq 6+4\\ \\ -2\leq x^{2}-3x \leq 10$


Para completar o quadrado da expressão do meio, vamos somar $\frac{9}{4}$ a todos os membros da dupla desigualdade:

$-2+\frac{9}{4}\leq x^{2}-3x+\frac{9}{4} \leq 10+\frac{9}{4}\\ \\ \frac{1}{4}\leq x^{2}-3x+\frac{9}{4} \leq \frac{49}{4}\\ \\ \frac{1}{4}\leq (x-\frac{3}{2})^{2} \leq \frac{49}{4}$


Resolver a dupla desigualdade acima é equivalente a resolver o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{4}\leq (x-\frac{3}{2})^{2}&\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ (x-\frac{3}{2})^{2} \leq \frac{49}{4}&\;\;\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação $\mathbf{(i)}:$

$\frac{1}{4}\leq (x-\frac{3}{2})^{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} x-\frac{3}{2}\geq \frac{1}{2}&\text{ ou }&x-\frac{3}{2}\leq -\frac{1}{2}\\ \\ x\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{2}&\text{ ou }&x\leq -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\ \\ x\geq 2&\text{ ou }&x\leq 1 \end{array}$


O conjunto solução para a inequação $\mathbf{(i)}$ é

$S_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x\geq 2\,\text{ ou }\,x\leq 1\right. \right \}$


ou em notação de intervalos,

$S_{1}=\left(-\infty;\,1 \right ]\cup\left[2;\,+\infty \right )$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação $\mathbf{(ii)}:$

$(x-\frac{3}{2})^{2} \leq \frac{49}{4}\\ \\ -\frac{7}{2}\leq x-\frac{3}{2}\leq \frac{7}{2}\\ \\ \frac{3}{2}-\frac{7}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}+\frac{7}{2}\\ \\ -2\leq x\leq 5$


O conjunto solução para a inequação $\mathbf{(ii)}$ é

$S_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,-2\leq x\leq 5\right. \right \}$


ou em notação de intevalos,

$S_{2}=\left[-2;\,5 \right ]$


$\bullet\;\;$ A solução do sistema é a interseção entre as soluções de cada inequação:

$S=S_{1}\cap S_{2}\\ \\ S=[-2;\,1]\cup \left[2;\,5 \right ]$


ou escrevendo na forma usual, o conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,-2\leq x\leq 1\,\text{ ou }\,2\leq x \leq 5\right. \right \}$