Question

Função exponencial, equação exponencial, sistema de equações.

Resolver o sistema de equações (x > 0, y > 0 e mn > 0):

$\huge\left\{\begin{matrix} x^{y}=y^{x}\\x^m=y^{n} \end{matrix}\right.$

Answer 1

Resolvendo a equação para x e y...

$x=y^\frac{n}{m}\\\\(y^\frac{n}{m})^y=y^{y^\frac{n}{m}}\\\\\frac{ny}{m}=y^\frac{n}{m}\\\\y^{\frac{n}{m}-1}=\frac{n}{m}\\\\\boxed{y=\frac{n}{m}^{\frac{m}{n-m}}}\\\\\\x=y^{\frac{n}{m}}\\\\x=(\frac{n}{m}^{\frac{m}{n-m}})^{\frac{n}{m}}\\\\\boxed{x=\frac{n}{m}^{\frac{n}{n-m}}}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Sistema de equações exponenciais !

Dado o sistema :

$\begin{cases} \mathtt{ x^y~=~y^x } \\ \\ \mathtt{ x^m ~=~y^n } \end{cases} \end{cases}$

Para a resolução deste sistema , vamos recorrer aos logarítmos ...

Pela consequência da definição dos logarítmos , podemos ter em cada equação o seguinte :

$\begin{cases} \mathtt{ \log_{x} y^x~=~y } \\ \\ \mathtt{ \log_{x} y^n~=~m } \end{cases}$

Vamos tentar manipular a Expressão acima , de tal modo a isolar o $\mathtt{ \log_{x} y }$ , Vamo lá ...

$\begin{cases} \mathtt{ x\cdot \log_{x} y~=~ y } \\ \\ \mathtt{ n \cdot \log_{x} y ~=~m} \end{cases} \to \begin{cases} \mathtt{ \red{ \log_{x} y }~ = ~\dfrac{y}{x} } \\ \\ \mathtt{ \red{\log_{x} y} ~ = ~\dfrac{m}{n} } \end{cases}$

Vejamos que os log's em destaque no vermelho são exatamente iguais , então podemos ter que :

$\mathtt{ \log_{x} y ~=~ \log_{x} y \Leftrightarrow \red{\dfrac{y}{x}~=~ \dfrac{m}{n} } }$

Então , agora vamos isolar uma das incógnitas :

$\boxed{\mathtt{ y~=~ \dfrac{m}{n} \cdot x } }$ , Vamos conservar esta informação , e vamos pegar numa das equações no sistema :

$\mathtt{ \log_{x} y~=~\dfrac{y}{x}~=~\dfrac{ \frac{mx}{n} }{ x } }$ , Quando têm - se a Divisão entre duas fracções , copia-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da segunda :

$\mathtt{ \log_{x} \Big( \frac{m}{n}x \Big)~=~ \dfrac{m\cancel{x}}{n} \cdot \dfrac{1}{\cancel{x}} }$

$\mathtt{ \log_{x} \frac{m}{n} + \log_{x} x ~= ~ \dfrac{m}{n} }$

$\mathtt{ \log_{x} \frac{m}{n} + 1~=~ \dfrac{m}{n} \Longleftrightarrow \log_{x} \frac{m}{n}~=~\dfrac{m}{n} - 1 }$

$\mathtt{ \log_{x} \frac{m}{n} ~= ~ \dfrac{m-n}{n} }$

Aplicando a definição dos logarítmos :

$\mathtt{ \Longleftrightarrow x^{\frac{m-n}{n}}~=~\dfrac{m}{n} }$ , Vamos elevar ambos os membros da equação a : $\mathtt{ \dfrac{n}{m-n}}$ , vamo lá ...

$\mathtt{ \Longleftrightarrow \Bigg( x^{\frac{\cancel{m-n}}{\cancel{n}}} \Bigg)^{\frac{\cancel{n}}{\cancel{m-n}}}~=~ \Big( \dfrac{m}{n} \Big)^{ \frac{n}{m-n} } }$

$\boxed{\boxed{\mathtt{ x~=~ \Big( \dfrac{m}{n} \Big)^{\frac{n}{m-n}} } } }$

Lembremos que : $\mathtt{ y~=~\dfrac{m}{n} \cdot x }$ , Então tendo achado o valor do x , vamos substituir Aqui para achar agora o do y :

$\mathtt{ \Longleftrightarrow y~=~ \dfrac{m}{n} \cdot \Big( \dfrac{m}{n} \Big)^{\frac{n}{m-n}} }$ , Quando têm-se potências de mesma base , matêm-se as bases e soma-se os expoentes :

$\mathtt{ \Longleftrightarrow y~=~\Big( \dfrac{m}{n} \Big)^{ \dfrac{n}{m-n} + 1 } ~=~ \Big( \dfrac{m}{n} \Big)^{ \frac{ \cancel{n} + m \cancel{-n} }{m-n} } }$

$\Longleftrightarrow \boxed{\mathtt{ y~=~ \Big( \dfrac{m}{n} \Big)^{ \frac{m}{m-n} } } }$

Espero ter ajudado bastante!)

Att : Joaquim-Logarítmo !