Question

François Viète nasceu na França, era advogado de profissão, mas se dedicava a matemática em suas horas vagas. Viéte trouxe muitas contribuições para a álgebra, entre elas, a utilização de letras para representar valores desconhecidos.

Existem dois valores reais que podem ser colocados no lugar de x. quais são eles?

A) X² = 9
B) X² = 64
C) X² = 25/4
D) X² = 0,49
E) X² = 0,64

Answer 1

Olá Mica. Aqui fica bem melhor para responder. Dá para editar, corrigir erros, colocar imagens, usar linguagem latex....

O que o exercício quer é que você descubra quais números elevados ao quadrado dão o número que foi colocado após a igualdade.

Vamos entender primeiro uma coisa. A questão do grau da variável x...

Quando x está elevado a 1 vemos o x assim: x¹. Para facilitar, por convenção só escrevemos x.

x¹ = x

Se x está elevado a 1, apenas pode ser um valor.

Por exemplo: x = 8

x  é igual a 8, e pronto.

Se x está elevado a 2, ele pode ter dois valores!

x² = 9  

Isso quer dizer que o número ao qual ele é igual, o 9, pode ser construído de duas formas diferentes....

Como é que a gente descobre essas formas? Fazendo a operação contrária.

Se x² é uma potenciação, então usaremos a operação contrária à potenciação, que é a radiciação.

O que uma faz, a outra desfaz. Por isso são operações opostas, contrárias.

Bom, se x² = 9, então podemos fazer $\sqrt{9}$ e encontrar x.

Veja que o expoente 2 de x² foi usado para montar a raiz de 9, que é uma raiz quadrada: $\sqrt[2]{9}$

Se o número viesse de um x ao cubo, a raiz seria cúbica.

x³ e $\sqrt[3]{x}$

Se o número viesse de um x à quarta potência, a raiz seria quarta.

$x^{4}$ e  $\sqrt[4]{x}$

Se um número vem de um x ao quadrado, a raiz será quadrada.

$x^{2}$ e $\sqrt[2]{x}$ , ou podemos escrever simplesmente  $\sqrt{x}$.

Pegou a ideia???

Pois bem.

Aos números que descobriremos montando a radiciação chamaremos de raízes. Uma radiciação em raiz quadrada nos dará duas raízes. Uma será positiva e a outra será negativa. Podemos chamá-las de xis linha e xis duas linhas (x' e x"), ou xis um e xis dois (x1 e x2 ou x_1 e x_2)

x² = 9

Quais são as raízes de 9???

Uma será positiva: 3

$x'=+\sqrt{9} = +3 =3$

A outra será negativa: -3

$x"=-\sqrt{9} = -3$

E porque 3 e -3 são raízes quadradas de 9???? Ora, vamos voltar de onde viemos. Qual a operação contrária da radiciação? A potenciação... não é? O que uma faz a  outra........ desfaz!

Então,

3 é raiz quadrada de 9 porque 3² = 3*3 = 9

-3 é raiz quadrada de 9 porque (-3)² = (-3)*(-3) = +9 = 9

Beleza?

As duas raízes de 9, ou valores reais para x² = 9, são 3 e -3. Porque 3 elevado ao quadrado dá 9 e -3 elevado ao quadrado também dá 9.

Há outros valores de x que dariam nove também??? Não ... se a potência é dois, há apenas dois valores de x.

Por causa da potência dois, raiz quadrada, duas raízes.

Continuando, o raciocínio sempre será o mesmo: potência quadrada, raiz quadrada!

x² = 64

$x'=+\sqrt{64} =+\sqrt{8*8} =+\sqrt{8^{2}} =+8=8$

$x"=-\sqrt{64} =-\sqrt{8*8} =-\sqrt{8^{2}} =-8$

As duas raízes de 64 são  8 e -8.

x² = 25/4

Mesma coisa... a diferença apenas está porque em vez de número inteiro temos uma fração. Tire a raiz quadrada dos dois termos da fração, numerador e denominador...

$x^{2}=\frac{25}{4}$

$x'=\sqrt\frac{25}{4}=\frac{\sqrt{25} }{\sqrt{4} } =\sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} } =\frac{5}{2}$    

$x'=-\sqrt\frac{25}{4}=-\frac{\sqrt{25} }{\sqrt{4} } =-\sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} } =-\frac{5}{2}$

x² = 0,49

Neste caso temos um número decimal. Coloquemo-lo na forma fracionária. Se são quarenta e nove centésimos, é porque quarenta e nove está sendo dividido por cem.

$x^{2} = 0,49 =\frac{49}{100}$

Agora, para encontrar raízes quadradas, raiz quadrada nele...

$x' =\sqrt{\frac{49}{100}}= \frac{\sqrt{49} }{\sqrt{100}} =\frac{\sqrt{7^{2}} }{\sqrt{10^{2}} } =\frac{7}{10}$

$x" =-\sqrt{\frac{49}{100}}= -\frac{\sqrt{49} }{\sqrt{100}} =-\frac{\sqrt{7^{2}} }{\sqrt{10^{2}} } =-\frac{7}{10}$

Ok! Consegue fazer a última. Claro que consegue!

Bons estudos para você. ^^)