Question

Fração irredutível da dízima periódica 5,54666...

Answer 1

$x=5,54666\ldots\\ \\ 10x=55,46666\ldots\\ \\ \\ 10x-x=55,46\mathbf{666\ldots}-5,54\mathbf{666\ldots}$


A parte destacada em negrito se cancela, então chegamos a

$9x=55,46-5,54\\ \\ 9x=49,92$


Multiplicando os dois lados da equação por $100$, para eliminar os decimais, temos

$900x=4\,992\\ \\ x=\dfrac{4\,992}{900}$


Resolvendo o m.d.c. (máximo divisor comum) entre o numerador e o denominador, para simplificar a fração, encontramos

$\mathrm{m.d.c.}\left(900,\,4\,992 \right )=12$


Dividindo o numerador e o denominador por $12$, chegamos a

$x=\dfrac{4\,992 \div 12}{900 \div 12}\\ \\ x=\dfrac{416}{75} \Rightarrow \boxed{5,54666\ldots=\dfrac{416}{75}}$

Answer 2

O ante período (5,54) acrescido do período (6) menos o ante período, tantos noves quantos forem os algarismo do período, no caso um nove (9), pois a parte do período é composta por 666 e tantos zeros quantos forem os algarismo do ante período, contar somente depois da virgula, no caso dois algarismos:

$\dfrac{5546 - 554}{900} \\ \\ \\ => \dfrac{4992}{900}$


Reduzir a fração:

$\dfrac{4992}{900} \ \dfrac{\div}{\div} \ \dfrac{12}{12} \ => \ \dfrac{416}{75}$