Question

FPP-PR A sequência (x; y; x+y) é uma progressão geométrica (P.G.) em que x e y ∈ R*
+ (R é o conjunto dos números reais). Dessa forma, podemos afirmar que a razão dessa P.G. é:
a) 1 + √5 / 2
b) √5 / 2
c) 1 + √5
d) √5
e) 1/ 2

Answer 1

Resposta:

(1+√5)/2

letra A

Explicação passo-a-passo:

razão da P.G. = a(n)/a(n-1), ou seja, o termo dividido pelo seu antecessor na sequencia.

nesse caso

razão = a3/a2 ou razão = a2/a1

como razão = razão, então:

a3/a2 = a2/a1

mas

a1 = x

a2 = y

a3 = x+y

substituindo

(x+y)/y = y/x

x(x+y) = y²

x² + xy = y²

x² + xy - y² = 0

como a1 = x e a2 = y, a1 foi multiplicado por um valor K (que é a razão) para se tornar a2

a2 = a1 * k

y = x * k

y = kx

substituindo

x² + x*kx - (kx)² = 0

x² + kx² - k²x² = 0

colocando x² em evidencia

x² (1 + k - k²) = 0

multiplicação de dois termos x² e 1+k-k² resultando em 0 significa que pelo menos um dos termos é 0.

x² = 0

x = 0

ou

1+k-k² = 0

multiplicando a equação por (-1)

k² - k - 1 = 0

aplicando bhaskara

∆ = b² - 4ac

∆ = 1 - 4.1.(-1)

∆ = 5

k = (-b +-√∆) / 2a

k = (1 +- √5) / 2

k' = (1+√5)/2

k" = (1-√5)/2

descartamos x=0 que tinhamos encontrado antes, pois apesar de ele satisfazer a pg no enunciado diz R*+, ou seja, reais positivos NÃO NULOS.

sendo assim, sobra

k' = (1+√5)/2

e

k" = (1-√5)/2

√4 = 2, √5 > √4 logo √5 > 2

1 - √5 = 1 - valor maior que 2 = um numero negativo

logo

k' é positivo

k" é negativo

(lembrando que k é a razão)

porém, a razão não pode ser negativa pois se ela fosse:

x é positivo como foi dito que ele pertence ao R*+

ao multiplicar o x positivo com a razão negativa temos como resposta o valor Y, mas positivo com negativo na multiplicação resulta em negativo, ou seja, Y seria negativo se x for positivo, mas na questão ta escrito que Y pertence ao R*+ também, ou seja, k não pode ser negativo.

assim

só sobra k' = (1+√5)/2

Answer 2

Resposta:

$\frac{1+\sqrt{5} }{2}$

Explicação passo-a-passo:

                            FÓRMULA DA P.G.  $C_{n} = C_{1} . (q)^{n - 1}$

Sequência dada :

  x , y, (x + y)

onde:

      x = $C_{1}$

       y = $C_{2}$

(x + y) = $C_{3}$

     .... = $C_{n}$

          Usando a fórmula da p.g. podemos transformar a                      

             sequência com base no 1º termo, veja abaixo:

                                      x = $x$

                                      y = $x . q$

                              (x + y) =  $x. q^{2}$

            Vamos usar o último pois ele é mais completo

                             $(x + y)$ =  $x. q^{2}$

                        $[x+ (x . q )] = x . q^{2}$   substituímos o " y " pela sua outra forma

                           $x( 1 + q) = x. q^{2}$    colocando o "x" em evidência

                            $\frac{x(1+q)}{x} = \frac{x . q^{2} }{x}$        divide os dois lados por x para  cortar os

                                                                                                 dois " x " de cima

                              $1+q = q^{2}$         coloca tudo para um lado e faz báskara

                            $q^{2} - q - 1 = 0$    

                           $\frac{- b + ou - \sqrt{ b^{2} - 4 . a . c }}{2 . a}$     resolvendo o que está dentro da raiz

                            $\frac{- b + ou - \sqrt{ 5 }}{2 . a}$                     agora faz x ' e x"

                          X ' =  $\frac{- b + \sqrt{ 5 }}{2 . a}$ = $\frac{- (-1) +\sqrt{ 5 }}{2 . 1}$  = $\frac{1 +\sqrt{ 5 }}{2}$    

                          X " = $\frac{- b - \sqrt{ 5 }}{2 . a}$  = $\frac{- (-1) - \sqrt{ 5 }}{2 . 1}$ = $\frac{1 - \sqrt{ 5 }}{2 }$

                        Vamos considerar o X ' pois ele é positivo

                                  Resposta $\frac{1 + \sqrt{ 5 }}{2 }$