Question

FORUM II Definição: diz-se que uma função z = f(x, y) é diferenciável no ponto (x0 , y0) se as derivadas parciais (0,0) e (0,0) existem e se lim(,)→(0,)(,)−[ (0,0)+ (0,0)[ −0]+(0,0)[− 0 ] /|(,)−(0,0) |=0 Analisando a definição dada, discuta a veracidade ( demonstrando a mesma) ou a falsidade (enumerando casos) das afirmações a seguir: I) Para provar que uma função é diferenciável em (0,0) é suficiente mostrar a existência das derivadas parciais (0,0) e (0,0) . II) A não existência de uma das derivadas parciais é suficiente para garantir a não diferenciabilidade da função . III) Se o limite dado acima existir e não for zero é suficiente para garantir a não diferencibilidade da função.

Answer 1

Todas as proposições são verdadeiras.

Vamos analisar cada alternativa:

I) Sim, é verdadeiro, pois a Condição suficiente para Diferenciabilidade nos diz exatamente isso.

II) Sim, também é verdadeiro, pois é necessário que toda função diferenciável possua derivadas parciais no ponto (x0,y0).

III) Sim, é verdadeiro. Essa é a forma mais garantida de se comprovar se uma função é diferenciável ou não. Sempre que quiser saber com total confiança se uma função é diferenciável, calcule esse limite. Ele parece bem grande e desafiador, mas quando for calcular você verá que pode aplicar várias simplificações e facilitar o cálculo.

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