Question

Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam T o triângulo cujos vértices são os pontos (-2,0), (2,0) e (0,3), e R o retângulo de vértices (-x ,0), (x,0), 0 < x < 2, e cujos outros dois vértices também estão sobre os lados de T.Determine o valor de x para o qual a área de R é máxima. Justifique sua resposta.

#UFF

Answer 1

Soh precisamos nos preocupar com metade do retangulo, portanto iremos apenas observar o primeiro quadrante e uma vez que o problema eh simetrico no eixo y podemos apenas multiplicar a x por 2.

Primeiro encontramos a equacao do lado do triangulo, essa equacao determina a altura do retangulo:

$h=\dfrac{3}{2}(2-x)$

Sabemos que a area do retangulo eh determinada pela equacao:

$A=2hx$

Podemos substituir h para deixar a area em termos de x:

$A=2\left(\dfrac{3}{2}(2-x)\right)(x)=3(2-x)(x)=6x-3x^2$

Agora podemos tirar a derivada e igualar a 0 para encontrar o ponto maximo da parabola:

$\dfrac{d}{dx}(6x-3x^2)=6-6x\\\\6-6x=0\\6x=6\\x=1$

Portanto a area maxima eh:

$A=6(1)-3(1)^2=6-3=\boxed{3}$

Answer 2

O valor de x para o qual a área de R é máxima é de 1.

É preciso considerar que uma equação para a reta que passa pelos pontos (2,0) e (0,3) é de y = -3/2x + 3.

Dessa forma temos que a área do triângulo da questão será dado conforme a seguinte expressão: y = A(x) = 2x(-3/2x + 3) = -3x² + 6x, que corresponde a uma função quadrática, ao qual o gráfico consiste em uma parábola de vértice no ponto (1,3) e também concavidade voltada para baixo.

Sendo assim, temos que o valor de x que torna a área máxima é equivalente a 1.

Bons estudos!