Question

figura abaixo representa um vaso de planta formado por um tronco de cone e um cilindro. A altura R do cilindro é igual ao raio da base maior do tronco de cone e o volume do tronco é igual ao volume do cilindro.


(IMAGEM)


Quais são os valores possíveis para o raio R do tronco de cone?


A

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B

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C

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D

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E

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Answer 1

O valor para o raio R do tronco de cone é $\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$.

O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura.

Da figura, temos que a altura mede R e o raio da base mede 40/2 = 20 cm. Então, o volume do cilindro é igual a:

V' = π.20².R

V' = 400πR.

O volume do tronco do cone é definido por:

• $V''=\frac{\pi h}{3}(R^2 + R.r + r^2)$.

Da figura, temos que a altura do tronco mede 60 cm. Então, h = 60.

O raio da base menor mede 10/2 = 5 cm. Logo, r = 5.

O enunciado nos informa que a altura R do cilindro é igual ao raio da base maior do tronco de cone.

Logo, o volume do tronco é:

V'' = 60π/3(R² + R.5 + 5²)

V'' = 20π(R² + 5R + 25).

Como V' = V'', então:

400πR = 20π(R² + 5R + 25)

20R = R² + 5R + 25

R² - 15R + 25 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-15)² - 4.1.25

Δ = 225 - 100

Δ = 125

$R=\frac{15+-\sqrt{125}}{2}$

$R=\frac{15+-5\sqrt{5}}{2}$.

Observe que os dois valores encontrados são positivos.

Entretanto, apenas o valor $\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$ é o correto, uma vez que o raio da base maior do tronco do cone tem que ser maior que o raio da base menor.