Question

(FGV-SP) Sendo x um número positivo, tal que $x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } = 14$ , o valor de $x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } = 14 x^{3} + \frac{1}{ x^{3} }$ é :

a)52
b)55
c)56
d)58
e)60

Answer 1

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Enunciado:

(FGV – SP) Sendo x um número positivo, tal que x² + 1/x² = 14, o valor de x³ + 1/x³ é:

a) 52   b) 55   c) 56   d) 58   e) 60.

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Solução:

Vamos manipular as duas expressões dadas. Elevaremos ao quadrado a expressão que envolve cubos, e depois elevaremos ao cubo a expressão que envolve quadrados. Observe:


•  Expandindo $\mathsf{\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^{\!2}:}$

Lembremos do quadrado de uma soma (produtos notáveis):

(a + b)² = a² + 2ab + b²


Então,

$\mathsf{\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^{\!2}=(x^3)^2+2\cdot x^3\cdot \dfrac{1}{x^3}+\left(\dfrac{1}{x^3}\right)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^{\!2}=x^6+2+\dfrac{1}{x^6}}$


e portanto,

$\mathsf{x^6+\dfrac{1}{x^6}=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^{\!2}-2\qquad\quad(i)}$


•  Expandindo $\mathsf{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}:}$

Agora, utilizamos a expansão do cubo de uma soma (produtos notáveis):

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³


e dessa forma,

$\mathsf{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}=(x^2)^3+3\cdot (x^2)^2\cdot \dfrac{1}{x^2}+3\cdot x^2\cdot \left(\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!2}+\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}}\\\\\\ \mathsf{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}=x^6+3\cdot x^4\cdot \dfrac{1}{x^2}+3\cdot x^2\cdot \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{x^6}}\\\\\\ \mathsf{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}=x^6+3\cdot \dfrac{x^4}{x^2}+3\cdot \dfrac{x^2}{x^4}+\dfrac{1}{x^6}}$

$\mathsf{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}=x^6+3\cdot x^2+3\cdot \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^6}}$


Colocando 3 em evidência nos termos intermediários,

$\mathsf{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}=x^6+3\cdot \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+\dfrac{1}{x^6}}$


e portanto,

$\mathsf{x^6+\dfrac{1}{x^6}=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}-3\cdot \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\qquad\quad(ii)}$


Igualando (i) e (ii), obtemos

$\mathsf{\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2-2=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}-3\cdot \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)}\\\\\\ \mathsf{\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\!3}-3\cdot \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+2\qquad\quad(iii)}$


Mas é dado que

$\mathsf{x^2+\dfrac{1}{x^2}=14}$


e substituindo este valor em (iii), a expressão fica

$\mathsf{\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2=14^3-3\cdot 14+2}\\\\\\ \mathsf{\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2=2\,744-42+2}\\\\\\ \mathsf{\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2=2\,704}$


Como x é positivo, então $\mathsf{x^3+\dfrac{1}{x^3}}$ também é positivo. Logo, devemos tomar a raiz quadrada com sinal positivo de ambos os lados, obtendo assim

$\begin{array}{lr|r} \mathsf{x^3+\dfrac{1}{x^3}=\sqrt{2\,704}} \qquad\qquad&\mathsf{2\,704}&\mathsf{2}\\ &\mathsf{1\,352}&\mathsf{2}\\ &\mathsf{676}&\mathsf{2}\\ &\mathsf{338}&\mathsf{2}\\ &\mathsf{169}&\mathsf{13}\\ &\mathsf{13}&\mathsf{13}\\ &\mathsf{1}& \end{array}\qquad\Rightarrow\qquad\mathsf{2\,704=2^4\cdot 13^2}$


$\mathsf{x^3+\dfrac{1}{x^3}=\sqrt{2^4\cdot 13^2}}\\\\\\ \mathsf{x^3+\dfrac{1}{x^3}=\sqrt{(2^2)^2\cdot 13^2}}\\\\\\ \mathsf{x^3+\dfrac{1}{x^3}=\sqrt{(2^2)^2}\cdot \sqrt{13^2}}\\\\\\ \mathsf{x^3+\dfrac{1}{x^3}=2^2\cdot 13}$
$\mathsf{x^3+\dfrac{1}{x^3}=4\cdot 13}$


∴     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x^3+\dfrac{1}{x^3}=52}\end{array}}$          ✔


Resposta:  alternativa a) 52.


Bons estudos! :-)


Tags:  produtos notáveis quadrado da soma cubo da soma binômio de newton álgebra