Question

(FGV-SP)As coordenadas (x,y) de cada ponto do segmento AB descrito na figura representam o comprimento (x) e a largura (y) de um retângulo, ambos em centímetros. Por exemplo, o ponto de coordenadas (4,18) representa um retângulo de comprimento 4 cm e largura 18cm
Dentre os infinitos retângulos descritos dessa forma,aquele que possui área máxima tem perímetro, em cm, igual a
A) 20
B)38
C)40
D)12
E)17​

Answer 1

Alternativa C = 40, agora vamos entender como é realizada as contas.

Seja r a reta que contém os pontos A (0, 30) e  B (6, 12) e cujo coeficiente angular é :

$m =\frac{30-12}{0-6} = -3$.

Podemos pegar uma equação de r:

$y - 30 = -3 . (x-0)$

$y = -3x + 30$

Sendo P (p; q) um ponto do segmento  o  AB, o retângulo de comprimento p e largura q tem área  $S = p . q = p . (-3p + 30)$, que será máxima para  p = 5, pois o gráfico de S é do tipo:  

O Gráfico se encontra na imagem:

Logo, o perímetro desse retângulo com área  

máxima será $2p + 2q = 2 . 5 + 2 . (-3 . 5 + 30) = 40.$

Bons Estudos!!

Answer 2

Resposta:

Letra C

Explicação passo-a-passo:

Olá! para resolver a questão, devemos ter conhecimento sobre áreas, vértices de uma parábola e função afim, é uma questão bem completa e ótima para fins educativos.

primeiramente, é possível notar, ao olhar para a reta no gráfico, que ela tem alguns pontos em evidência na questão. Vamos primeiro observar o ponto A, onde é possível constatar que vale 30 no eixo Y enquanto no X vale 0. como é uma reta, sabemos que sua função é dada por Y=ax+b, substituindo:

30=a.0 +b

b=30

falta descobrir o "a", agora é simples, basta substituir qualquer par ordenado da questão(escolherei o ponto B, valendo 12 para y e 6 para x), substituindo :

12=6a+30

a=-18/6= -3

portanto, a função da reta é y=-3x+30

Agora, pelo dado da questão, sabemos que x é o comprimento e y a largura, a área de um retângulo é dada por Base.Altura(ou comprimento x largura), portanto, sua área é descrita por:

A=b.h

A=x.y

descobrimos que y=-3x+30, se substituirmos na fórmula da área, obteremos a função da Área pelo comprimento.

substituindo novamente:

A=x.y

A=x.(-3x+30)= -3x²+30x

agora que encontramos a função da Área pelo comprimento, se a questão pede a área máxima, só pode estar falando do Y e X do vértice, sendo Área (yv) e comprimento (xv). queremos saber o comprimento para que seja máxima e a largura também, vamos começar pelo primeiro:

sabemos que x do vértice vale -b/2a, portanto, -30/-6= 5.

e o y do vértice vale -∆/4a= -900/-12=75

isso significa que, a área máxima corresponde a 75, enquanto para chegar nela, multiplicamos o comprimento(5) pela largura(y), agora podemos descobrir quanto este vale, pois:

Área=X.Y

75=5.y

y=15

mas a questão pediu o perímetro(soma de todos os lados), se é um retângulo, de base x e altura y, o perímetro será dado por:

2p(perímetro)= 2x+2y

substituindo x e y:

2.5+2.15= 10+30

resposta: 40.

espero tê-los auxiliado, ótimos estudos! <3