Question

(FGV-SP)Admita que oferta (S) e demanda (D) de uma mercadoria sejam dadas em função de x real pelas funções S(x) = $4^{x}+ 2^{x+1}$ e D(x) = $- 2^{x} +40$ . Nessas condições, a oferta será igual a demanda para x igual a: 
a) $\frac{1}{ log2 }$
b)$\frac{2 log_3 }{ log_2 }$
c)$\frac{( log_2 + log_3 )}{ log_2 }$
d)$\frac{(log_3)}{log_2}$

Answer 1

Questão legal. A oferta é igual a demanda no ponto de equilíbrio ( microeconomia)
igualando as duas equações

$4^x+2^{x+1}=-2^x+40\\ \\2^{2x}+2^{x+1}=-2^x+40\\ \\2^x(2^x+2)=-2^x+40$

usando o recurso de mudança de variável

$\boxed{2^x=y}}$

$y(y+2)=-y+40\\ \\y^2+2y=-y+40\\ \\y^2+3y=40\\ \\y^2+3y-40=0\\ \\y'=5\\ \\y''=-8$

descartar o valor negativo e use a mudança de variável

$2^x=y\\ \\2^x=5\\ \\\log5_2=x\\ \\\boxed{x= \frac{\log5}{\log2} }$

Como não tem essa alternativa dá pra simplificar mais

$x= \frac{\log \frac{10}{2} }{\log2} \\ \\\boxed{\boxed{x= \frac{1-\log2}{\log2}} }$

Answer 2

Pelo enunciado,

$S(x)=4^{x}+2^{x+1}~~(i)$

$D(x)=-2^{x}+40~~(ii)$

Queremos determinar o valor de $x$, de modo que, $S(x)=D(x)$.

Igualando (i) e (ii):

$4^{x}+2^{x+1}=-2^{x}+40$

$4^{x}+2^{x+1}+2^{x}-40=0$.

Observe que, $4^{x}=(2^2)^{x}=2^{2x}$ e $2^{x+1}=2\cdot2^{x}$. Assim:

$2^{2x}+2\cdot2^{x}+2^{x}-40=0$

Mas, $2^{2x}=(2^{x})^2$ e $2\cdot2^{x}+2^{x}=3\cdot2^{x}$. Deste modo:

$(2^{x})^2+3\cdot2^{x}-40=0$

Seja $k=2^{x}$. Temos que:

$k^2+3k-40=0$

$\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-40)=9+160=169$

$k=\dfrac{-3\pm\sqrt{169}}{2}+\dfrac{-3\pm13}{2}$

$k'=\dfrac{-3+13}{2}=\dfrac{10}{2}=5$

$k"=\dfrac{-3-13}{2}=\dfrac{-16}{2}=-8$ (não serve).

Assim, $2^{x}=5$. Lembre-se que, $a^{x}=b\iff\text{log}_a~b=x$, com $a,b>0$ e $a\ne1$.

Desta forma, como $2^{x}=5$, temos que, $x=\text{log}_2~5$.

Lembre-se da propriedade de mudança de base: $\text{log}_b~a=\dfrac{\text{log}_c~a}{\text{log}_c~b}$.

Utilizando a base $10$, obtemos, $x=\text{log}_2~5=\dfrac{\text{log}~5}{\text{log}~2}$

Mas, $\text{log}~5=\text{log}~\dfrac{10}{2}$. Lembre-se que: $\text{log}_a~\dfrac{x}{y}=\text{log}_a~x-\text{log}_a~y$.

Assim, $\text{log}~5=\text{log}~\dfrac{10}{2}=\text{log}~10-\text{log}~2$. Porém, $\text{log}~10=1$, pois $\text{log}_a~a=1$.

Com isso, $\text{log}~5=1-\text{log}~2$ e, portanto:

$x=\text{log}_2~5~~\Rightarrow~~x=\dfrac{\text{log}~5}{\text{log}~2}~~\Rightarrow~~\boxed{x=\dfrac{1-\text{log}~2}{\text{log}~2}}$