Question

(FGV) Considerando log 2 = 0;3 e log 3 = 0;48, o tempo necessário para que um capital aplicado a taxa de juro composto de 20% ao ano dobre de valor, e, aproximadamente:
a) 1 ano b) 4 meses c) 4 anos d) 3 anos e 9 meses e) 3 anos

Answer 1

Vamos lá.

Veja que montante, em juros compostos, é dado por:

M = C*(1+i)ⁿ , em que "M" é o montante, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo.

Observe que já dispomos dos seguintes dados para substituir na fórmula do montante acima

M = 2C ---(capital dobrado, então montante = 2 capitais).
C = C
i = 0,20 ao ano ----(veja que 20% = 20/100 = 0,20)
n = n --- (é o que vamos encontrar).

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

2C = C*(1+0,20)ⁿ
2C = C*(1,20)ⁿ ---- dividindo-se ambos os membros por "C", teremos:
2 = (1,20)ⁿ ----- vamos apenas inverter, ficando:
(1,20)ⁿ = 2 ---- aplicando logaritmo (base 10) a ambos os membros, teremos:

log₁₀ (1,20)ⁿ = log₁₀ (2) ------ passando o expoente multiplicando, temos:
n*log₁₀ (1,20) = log₁₀ (2) ----- veja que 1,20 (ou apenas "1,2", o que é a mesma coisa) poderá ser substituído por "12/10". Assim:

n*log₁₀ (12/10) = log₁₀ (2) ----- como a divisão transforma-se em subtração, teremos:

n*[log₁₀ (12) - log₁₀ (10)] = log₁₀ (2) ----- veja ainda que 12 = 4*3. Assim:
n*[log₁₀ (4*3) - log₁₀ (10)] = log₁₀ (2) --- como o produto passa a ser soma, teremos:

 n*[log₁₀ (4) + log₁₀ (3) - log₁₀ (10)] = log₁₀ (2) ----- como 4 = 2², temos:
n*[log₁₀ (2²) + log₁₀ (3) - log₁₀ (10)] = log₁₀ (2) ---- passando o expoente multiplicando, teremos:

n*[2*log₁₀ (2) + log₁₀ (3) - log₁₀ (10)] = log₁₀ (2)

Agora veja que:
log₁₀ (2) = 0,3 (que já foi dado no enunciado da questão)
log₁₀ (3) = 0,48 (que já foi dado no enunciado da questão
log₁₀ (10) = 1 (note que o número é igual à base. Por isso é igual a "1").

Assim, fazendo as devidas substituições teremos:

n*[2*0,3 + 0,48 - 1] = 0,3
n*[0,6 + 0,48 - 1] = 0,3
n*[1,08 - 1] = 0,3
n*[0,08] = 0,3 ---- ou apenas:
0,08n = 0,3
n = 0,3 / 0,08 ---- veja que esta divisão dá 3,75. Logo:
n = 3,75 anos -------- veja que 3,75 anos equivalem a 3 anos + 0,75 do ano (12 meses). Assim:

0,75*12 = 9 meses.

Dessa forma, teremos que:

3,75 anos = 3 anos e 9 meses <--- Esta é a resposta. Opção "d".


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Resposta:

D

Explicação passo-a-passo: