Question

FGV
A figura abaixo mostra os gráficos de duas funções quadráticas f e g que sao simétricos em relação ao ponto p=(1,1). sabendo que f(x)=x^2.determine uma expressão para g (x).

Answer 1

Boa noite

O vértice da função f(x) é o ponto  V(0.0) o simétrico deste ponto em relação a P(1,1) é  o ponto V(g) (2,2) que é o vértice da função g(x).Vamos usar esse vértice em duas situações :

1)  Usando a abscissa do vértice

$x_{V} =- \frac{b}{2a} \Rightarrow\ 2=- \frac{b}{2a} \Rightarrow\ 4a=-b\Rightarrow\ b=-4a$ 

2) Usando as coordenadas do vértice na função g(x)

$2=a* 2^{2} +b*2+c\Rightarrow\ 2= 4a+2*(-4a)+c \\ \\ 4a-8a+c=2\Rightarrow\ -4a+c=2 \Rightarrow\ c= 4a+2$

O ponto (-1,1) pertence a função f(x) e o simétrico dele [ em relação a (1,1) ] é o ponto Q(3,1) que pertence à função g(x)

$Q(3,1) \Rightarrow\ 1=a* 3^{2}+b*3+c\Rightarrow\ 1= a*9+(-4a)*3+2+4a \\ \\ 1=9a-12a+2+4a\Rightarrow\ 1=a+2 \Rightarrow\ a=-1$

Voltando em  1)  e  2 )

b=-4a ⇒ b= -4(-1) ⇒b=4        e

c=2+4a ⇒ c= 2+ 4(-1) ⇒c=2-4 ⇒ c = -2

A função g(x) = ax²+bx+c  fica g(x) = -x² + 4x - 2