Question

(FEI) Sabendo que log (x2 − 5x + 6) − log x + log 2 = 0, então:? heeelllpppp :)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Shauany, que a resolução é simples. Tem-se que:

log (x²-5x+6) - log (x) + log (2) = 0

Antes vamos para as condições de existência. Como só existem logaritmos de números positivos (>0), então teremos que impor que cada logaritmando visto aí em cima terá que ser maior do que zero. Ou seja, o logaritmando "x²-5x+6" e o logaritmando "x", terão, ambos, que ser positivos ( >0). Assim teremos:

x²-5x+6 > 0 ---- se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes: x' = 2 e x'' = 3. Assim, a função "x²-5x+6" será positiva para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes),  será negativa para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes) e será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes. Como queremos que a função seja positiva, então deveremos ter que: x < 2, ou  x > 3  .

E para o logaritmando "x" também deveremos impor que ele seja positivo (>0). Então:

x > 0.

Assim, as condições de existência serão estas (tomando-se as condições de existência do primeiro logritmando com as condições de existência do segundo logaritmando):

0 < x < 2 , ou x > 3 ---- Estas são as condições de existência da função dada na sua questão.

Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log (x²-5x+6 - log (x) + log (2) = 0 ------- note que poderemos reescrever assim, o que é a mesma coisa:

log (x²-5x+6) = log (x) - log (2) ---- veja que podemos transformar, no 2º membro, a subtração em quociente, ficando assim:

log (x²-5x+6) = log (x/2) -------- como as bases são as mesmas (estamos considerando a base "10", pois quando a base é omitida, subentende-se que ela seja "10"), então poderemos igualar os logaritmandos. Logo:

(x² - 5x + 6) = x/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(x² - 5x + 6)  = x --- efetuando o produto indicado, teremos:
2x² - 10x + 12 = x  --- passando "x" para o 1º membro, teremos:
2x² - 10x + 12 - x = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:
2x² - 11x + 12 = 0 ---- agora veja: se você aplicar Bháskara vai encontrar os seguintes valores para "x":

x' = 3/2 <-- raiz válida, pois atende às condições de existência.
x'' = 4 <--- raiz válida, pois também atende às condições de existência.

Assim, os possíveis valores de "x" são os que demos aí em cima, pelo que você poderá, se quiser, apresentar o conjunto-solução {x';  x''} da seguinte forma o que quer dizer o mesmo:

S = {3/2; 4}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.