Question

(FCMSCSP) Considerando a figura abaixo, qual o valor de sen a? (URGENTE!!!)

Answer 1

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Veja a figura em anexo a esta resposta.

Percebemos que existe um triângulo isósceles  OPQ,  com um vértice sobre o centro  O,  e os outros dois vértices  P  e  Q  sobre a própria circunferência.

No triângulo  OPQ,

    •   o ângulo do vértice mede  α;

    •   os dois lados congruentes têm a medida do raio  r  da circunferência;

    •   a base  PQ  do triângulo isósceles (lado oposto ao ângulo  α)  mede  3r/2.


Se traçarmos um segmento de reta partindo do vértice  O  do triângulo até o ponto médio  M  da base do triângulo isósceles, obteremos dois triângulos retângulos congruentes  OPM  e  OQM,  sendo  α/2  a medida de um de seus ângulos internos.


Considerando um desses triângulos retângulos, por exemplo o triângulo  OPM,  teremos que

     •   $\mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{cateto~oposto}{hipotenusa}}$

     $\mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{med(MP)}{med(OP)}}\\\\\\ \mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot \frac{3r}{2}}{r}}\\\\\\ \mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{~\frac{3r}{4}~}{r}}\\\\\\ \mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{3r}{4}\cdot \dfrac{1}{r}}$

     $\mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{3}{4}}$          ✔


Para achar  $\mathsf{cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right),}$  podemos usar a Relação Trigonométrica Fundamental:

     $\mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)+sen^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-sen^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-\dfrac{9}{16}}$

     $\mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{16}{16}-\dfrac{9}{16}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{16-9}{16}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{7}{16}}$


de modo que

     $\mathsf{cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\,\sqrt{\dfrac{7}{16}}}\\\\\\ \mathsf{cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\,\dfrac{\sqrt{7}}{4}}$


Mas  α/2  é um ângulo agudo,  pois é um dos ângulos internos de um triângulo retângulo. Portanto, o cosseno de  α/2  é positivo:

     $\mathsf{cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{7}}{4}}$          ✔

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Com essas informações, encontramos o seno de  α  aplicando a fórmula do seno do arco duplo:

     $\mathsf{sen\,\alpha=2\,sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{sen\,\alpha=2\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4}}\\\\\\ \mathsf{sen\,\alpha=\dfrac{6\sqrt{7}}{16}}\begin{array}{l}\mathsf{^{\div 2}}\\\mathsf{^{\div 2}}\end{array}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{sen\,\alpha=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}}\end{array}}$   <————   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Para qualquer triângulos de lados $a \ , \ b$  e  $c$  vale o  $Teorema \ dos \ Cossenos \ :$

$\boxed{ \boxed { a^2 \ = \ b^2 \ + \ c^2 \ - \ 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos \ \theta}}$

Onde  $\theta$  é o ângulo oposto ao lado  $a$

Assim considerando o triângulo da imagem de lados  $r \ , \ r , \ \frac{3r}{2}$  e sabendo que  $\alpha$  está oposto ao lado maior lado , então podemos aplicar o Teorema dos Cossenos 

$\Big( \frac{3r}{2}\Big)^2 \ = \ \Big(r\Big)^2 \ + \ \Big(r\Big)^2 \ - \ 2 \ . \ \Big(r\Big) . \ \Big(r\Big) \ . \ cos \ \alpha \\\\ \frac{9r^2}{4} \ = \ r^2 \ + \ r^2 \ - \ 2 \ . \ r^2 \ . \ cos \ \alpha \\\\ 9 \ . \ r^2 \ = \ 4r^2 \ + \ 4r^2 \ - \ 8 \ . \ r^2 \ . \ cos \ \alpha \\\\ r^2 \ = \ -8 \ . \ r^2 \ . \ cos \ \alpha \\\\ 1 \ = \ -8 \ . \ cos \ \alpha \\\\ cos \ \alpha \ = \ - \ \frac{1}{8}$

Para descobrir o  $sen \ \alpha$  utilizaremos a  $Rela\c{c}\tilde{a}o \ Fundamental \ da \ Trigonometria$  , 

$\boxed{\boxed{sen^2 \ \theta \ + \ cos^2 \ \theta \ = \ 1 }}$

Assim, 

$sen^2 \ \alpha \ + \ cos^2 \ \alpha \ = \ 1 \\\\ sen^2 \ \alpha \ + \ \Big(-\frac{1}{8}\Big)^2 \ = \ 1 \\\\ sen^2 \ \alpha \ + \frac{1}{64} \ = \ 1 \\\\ sen^2 \ \alpha \ = \ \frac{63}{64} \\\\ sen \ \alpha \ = \ ^+_- \ \frac{ \sqrt{63}}{8} \\\\ sen \ \alpha \ = \ ^+_- \ \frac{3\sqrt{7}}{8}$

  Num triângulo a soma de todos os ângulos deve ser igual a 180° então podemos induzir que  $\alpha \ \in \ \ ] \ 0^\circ \ , \ 180^\circ \ [$ . Assim sabemos que  $\alpha$  é um ângulo que pertence ao primeiro ou segundo quadrante . Pelo fato de o seno no primeiro e segundo quadrante serem positivos podemos afirmar que :

$\boxed { \boxed { sen \ \alpha \ = \ \frac{3\sqrt{7}}{8}}}$