Question

(FCMS/JF – 2017 - ADAPTADA) Se x = começar estilo tamanho matemático 14px s à potência de numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo s menos 1 parêntese direito fim da fração fim do exponencial fim do estilo e y = começar estilo tamanho matemático 14px s à potência de numerador s sobre denominador parêntese esquerdo s menos 1 parêntese direito fim da fração fim do exponencial fim do estilo, com s ≠ 1 e s > 0 então vale a relação:

A
yx = começar estilo tamanho matemático 14px reto x à potência de 1 sobre reto y fim do exponencial fim do estilo

B
começar estilo tamanho matemático 14px reto y à potência de 1 sobre reto x fim do exponencial fim do estilo = xy

C
yx = xy

D
xx = yy

E
começar estilo tamanho matemático 14px reto x à potência de 1 sobre reto x fim do exponencial fim do estilo = começar estilo tamanho matemático 14px reto y à potência de 1 sobre reto y fim do exponencial fim do estilo

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Material de apoio:
Caminho das Pedras

Answer 1

Vale a relação $y^x=x^y$.

Reescrevendo o enunciado:

Se $x=s^{\frac{1}{s-1}}$ e $y=s^\frac{s}{s-1}$, com s ≠ 1 e s > 0, então vale a relação:

a) $y^x=x^{\frac{1}{y}}$

b) $y^{\frac{1}{x}}=x^y$

c) $y^x=x^y$

d) $x^x=y^y$.

Solução

A relação que vale é $y^x=x^y$.

Primeiramente, vamos escrever a potência $y^x$.

Como $x=s^{\frac{1}{s-1}}$ e $y=s^\frac{s}{s-1}$, então temos que: $(s^{\frac{s}{s-1}})^{s^{\frac{1}{s-1}}}$.

Na potência de potência, devemos repetir a base e multiplicar os expoentes.

Observe que $\frac{s}{s-1}.s^{\frac{1}{s-1}}=\frac{s^{\frac{s}{s-1}}}{s-1}$. Veja que, no numerador, devemos repetir a base e somar os expoentes.

Assim, ficamos com $s^{\frac{s^{\frac{s}{s-1}}}{s-1}}$.

Agora, vamos determinar a potência $x^y$.

Sendo assim, temos que: $(s^{\frac{1}{s-1}})^{s^\frac{s}{s-1}}$.

Repetindo a base e multiplicando os expoentes, obtemos: $s^{\frac{s^{\frac{s}{s-1}}}{s-1}}$.

Perceba que os dois valores encontrados são iguais.

Assim, podemos concluir que a relação $y^x=x^y$ é válida.

Alternativa correta: letra c).