Question

Fazer o estudo da variação de sinal das funções f(x) = -3x² + 2x +1, g(x) = x² - 6x + 9 e h(x) = x² - x +10.

Answer 1

Use Báscara para encontrar as raízes da função f(x) que são x' = -1/3 e x'' = 1
Como o "a" é negativo, a concavidade da parábola é para baixo, logo f(x)>0 entre as raízes: -1/3<x<1.
           f(x) = 0 quando x=-1/3 ou x =1
           f(x) <0 quando x< -1/3 ou x> 1
Na g(x) a raiz é 3, e a concavidade é voltada para cima, logo:
g(x) > 0 quando x E R
g(x) = 0 quando x=3
g(x) <0 nunca

Na h(x) a concavidade também é para cima e não tem raízes reais. Isso significa que a parábola está "flutuando" inteirinha acima do eixo x.
h(x) >0 quando x E R
h(x) = 0 nunca
h(x) <0 nunca

Answer 2

NOTA:  Ficou bem repetitivo a resolução das equações.  Mas o objetivo é te fazer ler bastante, e entender o passo-a-passo.

observe que f(x) é a mesma coisa que Y.  Voce pode falar f(x)  ou y... Tanto faz Equação de segundo grau. Geralmente se encontra duas raízes reais. (dois valores para a incógnita x).  Se resolve pela formula de Bháskara.

X = -b +- √(b² - 4*a*c)/2a    

  Para isso, vamos igualar a 0 (zero).  Assim...  

-3x²+2x+1=0

Para facilitar o calculo, vamos chamar de DELTA, o que esta dividindo dentro da raiz.

Δ = b² -4 * a * c

Daí:  

X = -b + - √ (Δ)/2a

Termos:

A =   -3 porque é    -3x²

B =  2  porque é  2x

C = 1   é o termo independente da equação.    

Resolvendo.

Δ = b² - 4 *a *c

Δ =  (2)² - 4 *(-3)*(1)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

DELTA = 16.    Existe  raízes reais, e distintas.  

  X = (-b +- √Δ)/2a

O primeiro x, vamos chamar de  x linha (x’).

E o segundo,  x duas linhas (x”).  

X’ = (-2 + √16)/2(-3)

X’ = (-2 + 4)/-6

X’ =  -2/-6   simplificando por 2

X’ = -1/3     

-----------------------------------------------------------------------------------

X” = ( -2- √16)/2(-3)

X” = (-2 –4)/-6

X” = -6/-6

X” = 1  

domínio da função.   { X  ∈ IR / -1/3<  x <1  }

Se expressa:    X pertence ao reais, tal que. X é maior que -1/3, e menor que 1

    Agora calculemos os vértices (V)  em X e em Y.  

Vx = -b/2a

Vx  =  -2/6          simplificamos, dividindo  por 2

Vx = -1/3    

  ------------------------

  Yv = - Δ/4a Y

v  = -16/-12  simplificamos por 4   (16/4=4  e 12/4=3)

Yv = 4/3  

  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- g (x) = x² - 6x +9

observe que g(x)   é a mesma coisa que Y.  Você pode falar g(x)  ou y... Tanto faz

Equação de segundo grau. Geralmente se encontra duas raízes reais. (dois valores para a incógnita x).  Se resolve pela formula de Bháskara.

 X = -b +- √(b² - 4*a*c)/2a      

Para isso, vamos igualar a 0 (zero).  Assim...  

g(x) = x² - 6x + 9

Para facilitar o calculo, vamos chamar de DELTA, o que esta dividindo dentro da raiz.

Δ = b² -4 * a * c

Daí: 

  X = -b + - √ (Δ)/2a

Termos: A =   1 porque é    1x²

B =  -6  porque é  -6x

C = 9   é o termo independente da equação.    

Resolvendo.

Δ = b² - 4 *a *c

Δ =  (-6)² - 4 *(1)*(9)

Δ = 36 -36

Δ = 0

DELTA = 0.  

  So existe uma raiz real.  ( X’  e   x” tem valores iguais)  

X = (-b +- √Δ)/2a

O primeiro x, vamos chamar de  x linha (x’).

E o segundo,  x duas linhas (x”).  

X’ = (6 + √0)/2(1)

X’ = (6 + 0)/2

X’ =  6/2

X’ = 3     

-----------------------------------------------------------------------------------

X” = ( 6- √0)/2(1)

X” = (6 –0)/2

X” = 6/2

X” = 3  

domínio da função.  

 { X  ∈ IR /  x =3  }      

Agora calculemos os vértices (V)  em X e em Y.  

Vx = -b/2a

Vx  =  6/2              simplificamos, dividindo  por 2

Vx = 3     

------------------------  

Yv = - Δ/4a

Yv  = -0/2 

  Yv = 0

   -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- h(x) = x² - x +10.

observe que h(x)   é a mesma coisa que Y.  Voce pode falar fhx)  ou y... Tanto faz

Equação de segundo grau. Geralmente se encontra duas raízes reais. (dois valores para a incógnita x).  Se resolve pela formula de Bháskara.

X = -b +- √(b² - 4*a*c)/2a      

Para isso, vamos igualar a 0 (zero).  Assim...  

h(x) = x² - x + 10

  Para facilitar o calculo, vamos chamar de DELTA, o que esta dividindo dentro da raiz.

Δ = b² -4 * a * c

Daí:  

X = -b + - √ (Δ)/2a

Termos:

A =   1 porque é    1x²

B =  -1  porque é  -1x

C = 10   é o termo independente da equação.  

  Resolvendo.

Δ = b² - 4 *a *c

Δ =  (-1)² - 4 *(1)*(10)

Δ = 1 -40

Δ = -39 D

ELTA = -39.   ( DELTA negativo.  Não existe raízes reais!  Ou seja, não há valores para incógnita x) Daí, paramos por aqui.

Se desejar fazer o gráfico.  Basta demarcar os dois valores no eixo x (X' e X").

Fazer o cartesiano Xx e Yv e traçar a parábola.

X' e X" são os pontos onde a parábola corta o eixo X.

Xv e Yv. formam o cartesiano, onde se limita a parábola. Ela toca o ponto e retoma a direção ate cortar o outro ponto do eixo x.

Espero ter ajudado no raciocínio.

Bons estudos.