Question

Fatore:

(∛x - ∛a)/(x-a)

Answer 1

Você deve racionalizar o numerador. Partimos da expressão dada:

$\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a}$

Para a diferente de zero, podemos colocar em evidência assim:

$=\dfrac{\sqrt[3]{a}\cdot \left(\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{a}}-1\right)}{a\cdot (\frac{x}{a}-1)}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt[3]{a}}{a}\cdot \dfrac{\sqrt[3]{\frac{x}{a}}-1}{\frac{x}{a}-1}\\\\\\ =\dfrac{a^{1/3}}{a}\cdot \dfrac{\sqrt[3]{\frac{x}{a}}-1}{\frac{x}{a}-1}\\\\\\ =a^{-2/3}\cdot \dfrac{\sqrt[3]{\frac{x}{a}}-1}{\frac{x}{a}-1}$

Faça uma mudança de variável:

$\sqrt[3]{\dfrac{x}{a}}=t\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{a}=t^3$

e a expressão fica

$=a^{-2/3}\cdot \dfrac{t-1}{t^3-1}$

Coloque (t - 1) em evidência no denominador, usando divisão polinomial ou produtos notáveis:

$t^3-1=(t-1)\cdot (t^2+t+1)$

e a expressão fica

$=a^{-2/3}\cdot \dfrac{t-1}{(t-1)\cdot (t^2+t+1)}$

Simplificando o fator comum (t - 1),

$=a^{-2/3}\cdot \dfrac{1}{t^2+t+1}$

Agora, substitua de volta para a variável x:

$=a^{-2/3}\cdot \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{\frac{x}{a}}\right)^2+\sqrt[3]{\frac{x}{a}} +1}\\\\\\ =\dfrac{a^{-2/3}}{\sqrt[3]{\frac{x^2}{a^2}}+\sqrt[3]{\frac{x}{a}}+1}\\\\\\ =\dfrac{a^{-2/3}}{\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{x^{1/3}}{a^{1/3}}+1}$

Multiplique o numerador e o denominador por $a^{2/3}:$

$=\dfrac{a^{2/3}\cdot a^{-2/3}}{a^{2/3}\cdot \left(\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{x^{1/3}}{a^{1/3}}+1\right)}\\\\\\ =\dfrac{1}{x^{2/3}+x^{1/3}\cdot a^{1/3}+a^{2/3}}\\\\\\ =\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^2}}$ <----- esta é a resposta.

Bons estudos! :-)