Question

Fatore utilizando a identidade:

x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)


a) x² + x - 56

b) x² - 2x - 24

c) x² + 5x + 6

d) x² + 11x + 28

e) x² + x - 156

f) x² - 2x - 120

g) x² - 37x + 36

Answer 1

Essa questão aborda a fatoração utilizando uma identidade específica. Vamos entender como funciona isso e depois resolver cada uma das alternativas.

• Introdução:

A fatoração é usada sempre que queremos representar um número ou expressão de forma reduzida, menor. Nesse caso, temos que seguir um modelo para fatorar as equações quadradas dadas. Nosso modelo é:

                            x² + (a + b)x + ab   =     (x + a).(x + b)

Traduzindo essa expressão, temos que, para fatorar as expressões, vamos achar a soma dos coeficientes a e b junto ao x e o produto desses coeficientes como termo independente.

Compare a uma equação de 2° grau comum:

                                          ax² + bx + c

Observe que nosso a sempre vale 1, e o b e o c foram substituídos por dois números, no b somados e no c multiplicados. Temos que achar esses dois números, de acordo com cada alternativa. Vamos analisar cada uma delas.

• Questões:

a.  x² + x - 56

Nesse caso, a soma de a + b vale 1 e o produto, -56.

Como a soma dá positiva e o produto negativo, sabemos que um dos números é positivo e o outro, negativo. Agora, precisamos achar dois números que multiplicados dão - 56, e que quando os somarmos, dará 1.

Nesse caso, sempre que a soma der um número pequeno, como 1, 0, -1... sabemos que os números são próximos, pois a diferença é pequena. Nesse caso, os únicos números que a multiplicação dá -56 e a soma 1 são - 7 e 8. Somando - 7 com 8 temos 1, e os multiplicando, - 56. Sempre se atente bem à questão dos sinais.

Então nossa fatoração vai ficar ( x + 8) ( x - 7).

Observe que não tem como definir certinho quem é a e quem é b, não importa a ordem.

b. x² - 2x - 24

a + b = -2

a . b = - 24

Faça a análise exatamente igual fizemos na letra A, e atente-se aos sinais.

a = -6

b = 4

Fatoração: (x - 6) ( x +4 )

c.  x² + 5x + 6

a + b = 5

a . b = 6

a = 2

b =  3

Fatoração: (x + 2) ( x + 3)

d. x² + 11x + 28

a + b = 11

a . b = 28

a = 4

b =  7

Fatoração: (x + 4) ( x + 7)

e.  x² + x - 156

a + b = 1

a . b =  -156

a =  13

b = -12

Fatoração: (x + 13 ) ( x - 12 )

f. x² - 2x - 120

a + b = -2

a . b =  -120

 

a = -12

b =  10

Fatoração: (x -12) ( x + 10)

g.  x² - 37x + 36

a + b = -37

a . b =  36

a =  -1

b =  -36

Fatoração: (x - 1 ) ( x - 36 )

Você deve achar os números a e b não só pela análise da soma e produto, mas também por tentativa e erro. Comece analisando o produto entre eles, a multiplicação entre dois números possui menos possibilidades do que a soma. Vá pensando em dois números que multiplicados dê o produto em questão, e se a soma também bater, é isso aí. Atente-se sempre aos sinais! Qualquer dúvida, estou à disposição.

Saiba mais sobre fatoração em:

https://brainly.com.br/tarefa/30010174

Espero ter ajudado!

Answer 2

Fatorando as expressões quadráticas propostas, temos a forma fatorada de cada uma dos itens:

• a) x² + x – 56 = (x + 8)(x – 7)  
• b) x² – 2x – 24 = (x + 4)(x – 6)  
• c) x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)  
• d) x² + 11x + 28 = (x + 4)(x + 7)  
• e) x² + x – 156 = (x – 12)(x + 13)  
• f) x² – 2x - 120 = (x – 12)(x + 10)  
• g) x² – 37x + 36 = (x – 1)(x – 36)

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Inicialmente, consideremos uma expressão quadrática como mx² + nx + p, onde m, n e p são seus coeficientes. A fim de encontrar a forma fatorada dessa expressão, podemos usar, como foi sugerido, a identidade abaixo:

• x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ela se trata basicamente de soma e produto, onde temos que a soma de dois números a + b resulta no coeficiente n, e o produto ab resulta no coeficiente p.

⠀

Podemos fazer a correlação a + b = n e ab = p de duas formas, por tentativa e erro, ou por um sistema de equações. Vou fazer pelos dois métodos no item a), e nos demais irei fazer somente por tentativa e erro por ser mais rápido.

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Item a) x² + x – 56

Por um sistema de equações, temos que:

$\begin{array}{l}\begin{cases}a+b=1\\ab=-\,56\end{cases}\end{array}$

Pelo método da substituição vamos isolar b na primeira eq. e substituir seu valor na segunda eq.:

$\begin{array}{l}a+b=1\\\\b=1-a\\\\\therefore\\\\ab=-\,56\\\\a(1-a)=-\,56\\\\a^2-a=56\\\\a^2-a-56=0\end{array}$

Pra agilizar, resolvendo essa equação obtemos a₁ = 8 ∨ a₂ = – 7. Substituindo-os na equação em que isolamos b:

$\begin{array}{l}b=1-a\\\\b=1-8\\\\b=-7\\\\\vee\\\\b=1-a\\\\b=1-(-7)\\\\b=1+7\\\\b=8\end{array}$

Veja que, se a = 8, b = – 7, ou se a = – 7, b = 8. Então a forma fatorada de x² – x + 56 é (x + 8)(x – 7) ou (x – 7)(x + 8), tanto faz.

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Agora vou demonstrar como faríamos por tentativa e erro. Eu gosto de mudar a ordem (fazer primeiro com o produto) pois acho mais fácil. Sabemos que o produto de dois números deve resultar em – 56, e soma deles deve ser 1. Algumas tentativas:

• 7(– 6) = - 42 e 7 + (– 6) = 1
• 8(– 7) = – 56 e 8 + (– 7) = 1
• 9(– 8) = – 72 e 9 + (– 8) = 1

Logo a forma fatorada da expressão proposta é (x + 8)(x – 7).

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Item b) x² – 2x – 24

A partir daqui vamos fazer só por tentativa e erro. Nessa expressão, temos que o produto de dois números deve ser – 24, e a soma deles resultar em – 2. Algumas tentativas:

• 2(– 12) = – 24 e 2 + (– 12) = – 10
• 3(– 8) = – 24 e 3 + (– 7) = – 5
• 4(– 6) = – 24 e 4 + (– 6) = – 2

Assim, a forma fatorada da expressão proposta é (x + 4)(x – 6).

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Item c) x² + 5x + 6

Temos que o produto de dois números deve resultar em 6, e a soma deles ser 5. Algumas tentativas:

• 2(3) = 6 e 2 + 3 = 5

Na primeira tentativa já bateu. Logo, a forma fatorada da expressão proposta é (x + 2)(x + 3).

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Item d) x² + 11x + 28

Temos que o produto de dois números deve resultar em 28, e a soma deles ser 11. Algumas tentativas:

• 4(7) = 28 e 4 + 7 = 11

Logo, a forma fatorada da expressão proposta é (x + 4)(x + 7).

⠀

Item e) x² + x – 156

Temos que o produto de dois números deve resultar em – 156, e a soma deles ser 1. Algumas tentativas:

• 12(– 13) = – 156 e 12 + (– 13) = – 1
• – 12(13) = – 156 e – 12 + 13 = 1

Assim, a forma fatorada da expressão proposta é (x – 12)(x + 13).

⠀

Item f) x² – 2x – 120

Temos que o produto de dois números deve resultar em – 120, e a soma deles ser – 2. Algumas tentativas:

• – 10(12) = – 120 e – 10 + 12 = 2
• 10(– 12) = – 120 e 10 + (– 12) = – 2

Logo, a forma fatorada da expressão proposta é (x – 12)(x + 10).

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Item g) x² – 37x + 36

Temos que o produto de dois números deve resultar em – 156, e a soma deles ser 1. Algumas tentativas:

• 1(36) = 36 e 1 + 36 = 37
• – 1(– 36) = 36 e – 1 + (– 36) = – 37

Assim, a forma fatorada da expressão proposta é (x – 1)(x – 36).

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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