fatore o polinomio a seguir -2x-4y
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Resposta:
Fatorar uma expressão algébrica ou um polinômio significa transformar a expressão algébrica ou o polinômio, num produto de fatores irredutíveis. Assim, por exemplo, cada uma das identidades abaixo pode ser analisada sob dois aspectos distintos:
a) da esquerda para a direita, efetuamos a multiplicação indicada no 1º membro;
b) da direita para a esquerda, foi feita a fatoração da expressão que aparece no 2º membro, ou seja, ela foi transformada em um produto de fatores de grau menor.
Nesse sentido, podemos dizer, de modo geral, que fatorar é o “caminho inverso” de multiplicar.
Em seguida, vamos apresentar os principais casos de fatoração.
1º caso: colocar fator comum em evidência
Este caso se baseia na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração:
ab + ac – ad = a . (b + c – d)
Dizemos que o fator a, comum a todos os termos do 1º membro, foi colocado em evidência.
De maneira geral, ao fatorar um polinômio, colocamos em evidência o máximo divisor comum (MDC) de seus termos e, em seguida, dividimos cada termo por esse MDC.
Exemplos:
1. Fatore a expressão 5x + 5y – 5z.
Nesse caso, é fácil identificar o fator em comum: 5. Como estamos fazendo o processo inverso da propriedade distributiva da multiplicação, podemos dividir cada termo pelo fator comum para encontrar a forma fatorada:
5x+5y−5z=
5⋅(5x5+5y5−5z5)=
5⋅(x+y+z)
2. Fatore a expressão 3x3y2 – 6x4y3 + 12 x6y4.
Podemos reescrever a expressão 3x3y2 – 6x4y3 + 12 x6y4 como 3x3y2 – 6.x3. x.y2.y + 12.x3.x3.y2.y2
Observe que 3.x3.y2 é o fator comum. Colocando-o em evidência, temos:
3x3y2−6x2y3+12x6y4=
3x3y2⋅(3x3y23x3y2−6x4y33x3y2+12x6y43x3y2)=
3x3y2⋅(1−2xy+4x3y2)
3. Fatore a expressão 7ab2y2 – 21a2b2m + 28a3b4.
Reescrevendo a expressão, temos: 7.a.b2y2 – 7.3.a.a.b2.m + 7.4. a.a2.b2b2
Observe que 7.a.b2 é o fator comum . Colocando-o em evidência, temos:
7ab2y2−21a2b2m+28a3b4=
7ab2⋅(7ab2y27ab2−21a2b2m7ab2+28a3b47ab2)=
7ab2⋅(y2−3am+4a2b2)
2º caso: Agrupamento
Este caso se aplica quando:
a) não existe um fator comum para todas as parcelas;
b) partes da expressão (grupos) possuem fator comum.
Nesse caso, formamos dois ou mais grupos com um termo comum. Em seguida, colocamos em evidência um fator comum a todos os grupos.
Exemplos:
1. Fatore a expressão x2 + ax + bx + ab
Portanto: x2 + ax + bx + ab = (x + a) . (x + b)
2. Fatore a expressão 2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2
Portanto: 2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2 = (2x + 3y) . ( ax – by)
3. Fatore a expressão axy + bcxy – az – bcz – a – bc
Portanto: 2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2 = (a + bc) . ( xy –z – 1)
3º caso: Diferença de quadrados
A partir da propriedade simétrica da igualdade (se a = b, então b = a), pode-se dizer que:
se (x + y)(x – y) = x2 – y2, então x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Observando que, esse binômio é composto pela diferença do quadrado de dois termos, podemos fatorá-lo facilmente, escrevendo-o como produto da soma pela diferença desses termos.
Exemplos:
1. Fatore a expressão x2 - 16
2. Fatore a expressão 16x4 – 25b2
3. Fatore a expressão 36x2y425−121a416
4º caso: Trinômio quadrado perfeito
Todo polinômio com três termos que apresenta dois monômios quadrados perfeitos (a2 e b2), cujo terceiro termo é igual a duas vezes o produto das bases desses monômios quadrados perfeitos, em módulo ( 2ab), é um trinômio quadrado perfeito, isto é, pode ser reduzido a uma das seguintes formas:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ou a2 -2ab + b2 = (a – b)2
Exemplos:
1. Verifique se o trinômio x2 + 4x + 4 a seguir são quadrados perfeitos e, caso sejam, fatore-os.
Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadrados, temos:
Como 2ab é igual ao termo 4x, o trinômio é quadrado perfeito:
2ab = 2 . x . 2 = 4x (logo, x2 + 4x + 4 é quadrado perfeito)
Fatorando o trinômio, temos: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
2. Verifique se o trinômio 4x2 - 20x + 52 a seguir são quadrados perfeitos e, caso sejam, fatore-os.
Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadrados, temos:
Como 2ab é igual ao termo 20x, o trinômio é quadrado perfeito e sua forma fatorada é:
4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2
5º caso: Trinômio do segundo grau
Mesmo um trinômio não sendo quadrado perfeito, é possível fatorá-lo. Para isso, basta associá-lo a uma equação do 2º grau e conhecer suas raízes. Para um trinômio do tipo ax2 + bx + c (a ≠ 0), a equação associada a ele é ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), na qual suas raízes x1 e x2 satisfazem as relações:
x1+x2=−ba e x1⋅x2=ca
A forma fatorada do trinômio do segundo grau, usando as raízes x1 e x2 , é o produto do coeficiente a por dois fatores de 1º grau
ax2 + bx + c = a . (x – x1) . (x – x2)
Exemplos:
1. Fatore: x2 – 5x + 6 (a = 1, b = -5, c = 6)
Calculando as raízes: Δ = b2 – 4.a.c = (-5)2 – 4.(1).(6) = 25 – 24 = 1
Como x1 = 2 e x2 = 3 e a = 1, a forma fatorada do trinômio é: x2 – 5x + 6 = 1 (x -2).(x -3)
2. Fatore: 3x2 – 2x - 1 (a = 3, b = -2, c = -1)
Calculando as raízes: Δ = b2 – 4.a.c = (-2)2 – 4.(3).(-1) = 4 + 12 = 16
Como x1=−13 e x2 = 1 e a = 3, a forma fatorada do trinômio é: