Fatore as expressões abaixo:
a)Evidencia do fator comum:
12x³y4^+8x²y5^-24x4^y³
b)Fatoração por agrupamento:
2xy-10x+3y-15
c)Trinômio quadrado perfeito:
x²-14x+49
d)Diferença de dois quadrados:
36x²-81
Soluções para a tarefa
Respondido por
2
a)
12x³y⁴ + 8x²y⁵ - 24x⁴y³
Temos o fator comum como sendo 4x²y³. Assim, temos que:
12x³y⁴ + 8x²y⁵ - 24x⁴y³ =
4x²y³ * (3xy + 8y² - 6x²)
b)
2xy - 10x + 3y - 15
Primeiramenta, vamo colocar "2x" em ecidência para os dois primeiros termos e, ainda, vamos colocar "3" em evidência para os dois últimos termos.
2xy - 10x + 3y - 15 =
2x * (y - 5) + 3 * (y - 5)
Agora, vamos colocar o termo "y - 5" em evidência:
2x * (y - 5) + 3 * (y - 5)
(y - 5) * (2x + 3)
c)
x² - 14x + 49
Como se trata de um trinômio quadrado perfeito, podemos considerar (x + a)². Portanto, temos que determinar um valor de "a" para que (x + a)² = x² - 14x + 49:
(x + a)² = x² - 14x + 49
x² + 2ax + a² = x² - 14x + 49
Comparando os dois trinômios, temos que:
2a = -14
a² = 49
Pela segunda igualdade, temos que:
a² = 49
a' = √49 = 7
a'' = -√49 = -7
Portanto, "a" pode ser 7 ou -7.
Já pela primeira igualdade, temos que:
2a = -14
a = -14/2
a = -7
Portanto, somente "a = -7" é solução das duas igualdades ao mesmo tempo. Assim, temos que para "a = -7"
x² - 14x + 49 = (x + a)²
x² - 14x + 49 = (x - 7)²
d)
Vamos considerar a seguinte expressão:
(ax + b) * (ax - b) =
a²x² - abx + abx - b² =
a²x² - b²
Portanto, a diferença de dois quadrados pode ser escrita da forma:
(ax + b) * (ax - b)
Portanto, precisamos determinar valores de "a" e "b" de forma que
(ax + b) * (ax - b) = 36x² - 81
a²x² - b² = 36x² - 81
Dessa forma, comparando as duas diferenças de quadrados, temos que:
a² = 36
a' = √36 = 6
a'' = -√36 = -6
e
b² = 81
b' = √81 = 9
b'' = -√81 = 9
Portanto, poderíamos tomar quatro possibilidades de solução:
a' = 6 e b' = 9
a' = 6 e b'' = -9
a'' = -6 e b' = 9
a'' = -6 e b'' = -9
Porém, as duas primeiras retornam resultados iguais e as duas últimas também retornam resultados iguais. Portanto, vamos considerar apenas duas possibilidades de solução:
a' = 6 e b' = 9
a'' = -6 e b'' = -9
Com isso, temos que:
36x² - 81 = (a'x + b') * (a'x - b')
36x² - 81 = ((6) * x + (9)) * ((6) * x - (9))
36x² - 81 = (6x + 9) * (6x - 9)
ou
36x² - 81 = (a''x + b'') * (a''x - b'')
36x² - 81 = ((-6) * x + (-9)) * ((-6) * x - (-9))
36x² - 81 = (-6x - 9) * (-6x + 9)
12x³y⁴ + 8x²y⁵ - 24x⁴y³
Temos o fator comum como sendo 4x²y³. Assim, temos que:
12x³y⁴ + 8x²y⁵ - 24x⁴y³ =
4x²y³ * (3xy + 8y² - 6x²)
b)
2xy - 10x + 3y - 15
Primeiramenta, vamo colocar "2x" em ecidência para os dois primeiros termos e, ainda, vamos colocar "3" em evidência para os dois últimos termos.
2xy - 10x + 3y - 15 =
2x * (y - 5) + 3 * (y - 5)
Agora, vamos colocar o termo "y - 5" em evidência:
2x * (y - 5) + 3 * (y - 5)
(y - 5) * (2x + 3)
c)
x² - 14x + 49
Como se trata de um trinômio quadrado perfeito, podemos considerar (x + a)². Portanto, temos que determinar um valor de "a" para que (x + a)² = x² - 14x + 49:
(x + a)² = x² - 14x + 49
x² + 2ax + a² = x² - 14x + 49
Comparando os dois trinômios, temos que:
2a = -14
a² = 49
Pela segunda igualdade, temos que:
a² = 49
a' = √49 = 7
a'' = -√49 = -7
Portanto, "a" pode ser 7 ou -7.
Já pela primeira igualdade, temos que:
2a = -14
a = -14/2
a = -7
Portanto, somente "a = -7" é solução das duas igualdades ao mesmo tempo. Assim, temos que para "a = -7"
x² - 14x + 49 = (x + a)²
x² - 14x + 49 = (x - 7)²
d)
Vamos considerar a seguinte expressão:
(ax + b) * (ax - b) =
a²x² - abx + abx - b² =
a²x² - b²
Portanto, a diferença de dois quadrados pode ser escrita da forma:
(ax + b) * (ax - b)
Portanto, precisamos determinar valores de "a" e "b" de forma que
(ax + b) * (ax - b) = 36x² - 81
a²x² - b² = 36x² - 81
Dessa forma, comparando as duas diferenças de quadrados, temos que:
a² = 36
a' = √36 = 6
a'' = -√36 = -6
e
b² = 81
b' = √81 = 9
b'' = -√81 = 9
Portanto, poderíamos tomar quatro possibilidades de solução:
a' = 6 e b' = 9
a' = 6 e b'' = -9
a'' = -6 e b' = 9
a'' = -6 e b'' = -9
Porém, as duas primeiras retornam resultados iguais e as duas últimas também retornam resultados iguais. Portanto, vamos considerar apenas duas possibilidades de solução:
a' = 6 e b' = 9
a'' = -6 e b'' = -9
Com isso, temos que:
36x² - 81 = (a'x + b') * (a'x - b')
36x² - 81 = ((6) * x + (9)) * ((6) * x - (9))
36x² - 81 = (6x + 9) * (6x - 9)
ou
36x² - 81 = (a''x + b'') * (a''x - b'')
36x² - 81 = ((-6) * x + (-9)) * ((-6) * x - (-9))
36x² - 81 = (-6x - 9) * (-6x + 9)
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