Question

(FATEC-SP) Se (1+i)(a+bi)=(1+ai)(b+i), onde a e b são reais, então

(A) a=-b
(B) a=2b
(C) a=3b
(D) a=4b
(E) a=b

Gabarito letra E

Eu consegui chegar às igualdades simplificadas aplicando a distributiva, mas não consegui prosseguir daí. Falaram num outro site que se:

( 2(a-b) )+( b+a-1-ab )i=0, então

2(a-b)=0 e b+a-1-ab=0

Queria saber o porquê disso.

Answer 1

Olá Lucas!

Resposta:

$\boxed{\mathsf{E}}$

Explicação passo-a-passo:

Apliquemos distributiva, conforme mencionou, veja:

$\\ \displaystyle \mathsf{(1 + i)(a + bi) = (1 + ai)(b + i)} \\\\ \mathsf{a + bi + ai + bi^2 = b + i + abi + ai^2} \\\\ \mathsf{a + bi + ai + b \cdot (- 1) = b + i + abi + a \cdot (- 1)} \\\\ \mathsf{a + bi + ai - b = b + i + abi - a}$

Pelo que entendi, você não conseguiu avançar daqui certo?! Então, lembre-se que em se tratando de Números Complexos, eles têm uma parte real e a outra imaginária!

Portanto, devemos igualá-las e montar um sistema, veja:

$\\ \displaystyle \mathsf{a - b + bi + ai = b - a + i + abi} \\\\ \mathsf{(a - b) + (b + a)i = (b - a) + (1 + ab)i}$

Igualando parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginário, obtemos o sistema abaixo:

$\\ \displaytyle \begin{cases}\mathsf{a - b = b - a} \\ \mathsf{b + a = 1 + ab} \end{cases} \\\\\\ \mathsf{\Rightarrow } \ \begin{cases}\mathsf{2a = 2b} \\ \mathsf{b + a = 1 + ab} \end{cases}$

Na primeira equação do sistema já somos capazes de concluir que, de fato, $\boxed{\boxed{\mathsf{a = b}}}$.

Answer 2

Resposta:

    a  =  b       ( opção:  E )

Explicação passo-a-passo:

. (1 + i)(a + bi)  =  (1 + ai)(b + i)

Aplicando a distributiva, temos:

1.a + 1.bi + i.a + i.bi = 1.b + 1.i + ai.b+ai.i

= a + bi + ai + bi² = b + i + abi + ai²

= a + bi + ai + b.(-1) = b + i + abi + a.(-1)

= a + bi + ai - b  =  b + i + abi - a

(Agrupando parte real, parte imagi -

nária)

a - b  +  (a + b).i  =  b - a  +  (1 + ab).i ,

Igualando, resulta:

a - b  =  b - a      (*)

(a + b).i  =  (1 + ab).i

De (*):  a - b  =  b - a

.           a + a  =  b + b

.            2 . a  =  2 . b

.                 a  =  b

(Obs.:  i² = - 1)