Question

(FATEC-SP) Considere as funções f e g, de R em R, definidas por f(x)= -x²+px e g(x)= k, com p e k constantes reais. Representando-as graficamente no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, obtem-se a reta da função g tangenciando a parabola da função f, no vertice de abscissa 3. Nestas condições, o valor de k é:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
Preciso da explição para eu poder entender! Obrigado.

Answer 1

Olá!
 
    Dê uma olhada no gráfico desta função. Ele já foi feito considerando o valor que encontrei de p, que vou explicar a seguir. Note, primeiro, que as raízes desta função $f$   são   $x=0$   ou   $x=p$  :

$f(x)=-x^2+px\Rightarrow f(x)=0\Leftrightarrow -x^2+px=0\Leftrightarrow x(p-x)=0\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x=0\;\; ou\;\; x=p$

O enunciado já diz que a reta da função   $g$   tangencia a parábola da função   $f$   no ponto de abcissa 3. Veja também que a abcissa do vértice é dada por  $-\dfrac{b}{2a}$   considerando uma função do segundo grau da forma   $ax^2+bx+c=0$  . Então, de posse desta informação confirme que tal ponto tem abcissa valendo   $\dfrac{p}{2}$  .

Logo, temos

$\dfrac{p}{2}=3 \Rightarrow p=6$

Agora veja que   $g(x)=k$   é uma função constante, pois k é um número real. E o gráfico de toda função constante é uma reta paralela ao eixo X. Para saber onde essa reta corta o eixo Y, basta encontrar a ordenada referente à abcissa   $\dfrac{p}{2}$  , isto é, referente a 3. Isso se faz substituindo o valor 3 na lei da função que foi dada no exercício:

$f(3)=-(3^2)+p\cdot3 \Rightarrow f(3) = -9+p\cdot 3\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow f(3)=-9+6\cdot 3=-9+18=9$

Portanto, gabarito (E).

Bons estudos!