Question

(FATEC) Se no desenvolvimento de (x^3+1/x)^n pelo binômio de Newton,o coeficiente do termo independente de x é 28,então n é igual a:

Answer 1

Seja $(a + b)^n$ um binômio de Newton.

Um termo qualquer de uma expansão binomial pode ser encontrado utilizando a seguinte expressão:

$\left(\begin{array}{ccc}n\\p\end{array}\right) \cdot a^{n-p} \cdot b^p = \dfrac{n!}{(n-p)! \cdot p!}\cdot a^{n-p} \cdot b^p$

Onde a parte do fatorial indica o coeficiente e a parte com a e b indica os expoentes.

No nosso caso: $a = x^3$ e $b = \dfrac{1}{x}$

Nós estamos procurando o termo independente de x. Para isto ocorrer, o produto entre: $a^{n-p}$ e $b^p$ precisa ser igual a 1:

$a^{n - p} \cdot b^p = 1$

Ou seja:

$(x^3)^{n - p} \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right)^p = 1$

$(x^3)^{n - p} \cdot (x^{-1})^{p} = 1$

Expoente de expoente é a multiplicação dos expoentes:

$x^{3\cdot(n - p)} \cdot x^{-1 \cdot p} = 1$

Qualquer número elevado a zero é 1:

$x^{3\cdot(n - p)} \cdot x^{-1 \cdot p} = x^0$

$x^{3\cdot n - 3\cdot p} \cdot x^{-p} = x^0$

Utilizando a propriedade: $a^{b} \cdot a^{c} = a^{b+c}$:

$x^{3\cdot n - 3\cdot p-p}= x^0$

$x^{3\cdot n - 4\cdot p}= x^0$

Agora, como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

$3\cdot n - 4\cdot p=0$

$3\cdot n = 4\cdot p$

$p = \dfrac{3}{4} \cdot n$

Desta forma, descobrimos uma relação entre p e n. Os valores de n e p precisam ser inteiros, por causa do fatorial, ou seja, para que isso ocorra, n precisa ser múltiplo de 4: n = 4, 8, 12, 16...

Daqui pra frente, é basicamente na tentativa e erro. Já que não há constantes multiplicando a e b, precisamos que:

$\dfrac{n!}{(n-p)! \cdot p!} = 28$

Se n = 4, p = 3:

$\dfrac{4!}{(4-3)! \cdot 3!} = \dfrac{4!}{(1)! \cdot 3!} = \dfrac{4}{1} = 4$

Não satisfaz.

Se n = 8, p = 6:

$\dfrac{8!}{(8-6)! \cdot 6!} = \dfrac{8!}{2! \cdot 6!} = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = \dfrac{56}{2} = 28$

Este satisfaz.

Logo:

$\boxed{n = 8}$