Question

(FATEC) se -1 é raiz do polinômio p(x) = x³ - 4x² + x - k, k ∈ Reais, então as outras duas raízes são
a) reais e de multiplicidade 2
b) racionais e negativas
c) não reais 
d) irracionais.
e)inteiras 
OBS: A resposta é a letra E, entretanto, gostaria de conhecer o método para chegar à alternativa correta.

Answer 1

Um polinômio pode ser escrito em função de suas raízes:

$p(x)=(x-r_{1})(x-r_{2})(x-r_{3})(x-r_{4})...$
_________________________

Se -1 é raiz do polinômio, em sua fatoração, aparecerá (x - [-1]) = (x + 1). Logo, o polinômio p(x) será divisível pelo monômio x + 1

Fazendo essa divisão pelo algoritmo de briot-ruffini, chegamos numa equação do segundo grau mais simplificada

P.S O resto da divisão deve dar zero, pois -1 é raiz do polinômio (logo k = -6)

Chegamos na equação do segundo grau x² - 5x + 6 = 0

Calculando suas raízes:

$S=-b/a=-(-5)/1=5\\P=c/a=6/1=6$

Raízes: 2 números cuja soma é 5 e o produto é 6

$x'=2\\x''=3$

Letra E