Question

(FAFIPA - 2019) Após analisar cada um dos itens abaixo sobre equações do segundo grau, assinale a alternativa CORRETA:
I. A equação: 4x² + 12x – 16 = 0 possui duas raízes reais distintas, sendo que uma dessas raízes possui um valor positivo e a outra possui um valor negativo.
II. Se o discriminante de uma equação for maior que zero, essa equação terá duas raízes reais distintas.
III. O produto da raiz x' pela raiz x'' da equação: 3C² - 15C + 12 = 0 é igual a 5 e seus coeficientes são, respectivamente, a = 3, b = 15 e c = 12.

A) Somente os itens I e II estão corretos.
B) Somente o item II está correto.
C) Somente os itens II e III estão corretos.
D) Nenhum item está correto.

Answer 1

I. A equação: 4x² + 12x – 16 = 0 possui duas raízes reais distintas ①, sendo que uma dessas raízes possui um valor positivo e a outra possui um valor negativo ②.

• ① Numa equação do segundo grau na forma ax² + bx + c = 0, a natureza de suas raízes pode ser determinada analisado o discriminante (Δ).

Δ = b² − 4ac

$\large \sf Se \ \begin {cases} \sf \Delta = 0 \qquad \text {H\'a duas ra\'izes reais e iguais} \\ \sf \Delta > 0 \qquad \text {H\'a duas ra\'izes reais e distintas} \\ \sf \Delta < 0 \qquad \text {N\~ao h\'a duas ra\'izes reais} \end {cases}$

• Calcule  discriminante:

Δ = b² − 4ac

Δ = 12² − 4 • 4 • (− 16)

Δ = 400

• Obteve-se Δ > 0, então há duas raízes reais e distintas e portanto a afirmativa I-① está correta.

• ② Numa equação do segundo grau do tipo ax²  bx + c = 0, o produto de suas raízes (x' • x") pode ser obtido calculando a razão c/a:

$\large \sf x' \cdot x'' = \dfrac {c}{a} = \dfrac {-16}{4} = -4$

• Observe que se o produto da raízes é negativo então uma das raízes deve ser negativa e a outra positiva, portanto a afirmativa I-② está correta.

• Conforme propriedade já enunciada a afirmativa II está correta.

III. O produto da raiz x' pela raiz x'' da equação: 3C² − 15C + 12 = 0 é igual a 5 ① e seus coeficientes são, respectivamente, a = 3, b = 15 e c = 12 ②.

• ① Numa equação do segundo grau do tipo ax²  bx + c = 0, o produto de suas raízes (x' • x") pode ser obtido calculando a razão c/a:

$\large \sf x' \cdot x'' = \dfrac {c}{a} = \dfrac {12}{3} = 4$

• Portanto a afirmativa III-① está errada.

• Comparando a equação 3C² − 15C + 12 = 0 com a forma ax² + bx + c = 0 obtém-se os coeficientes a = 3, b = −15 e c = 12, portanto a afirmativa III-② está errada pois o valor do coeficiente b não coincide.

• Resumindo:

Afirmativa I: Correta

Afirmativa II: Correta

Afirmativa III: Errada

Resposta: Alternativa A.

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