Question

(Fafi-BH) Se A=[1 2] e B= [2 1]
4 5 3 4 então o determinante de A. Bt, onde Bt é a transposta de B, vale:

A) -16
B)-15
C)15
D)16

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: https://brainly.com.br/tarefa/7994896

_______________


São dadas as matrizes

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} \mathsf{1}&\mathsf{2}\\ \mathsf{4}&\mathsf{5} \end{bmatrix}~~\textsf{e}~~\mathbf{B}=\begin{bmatrix} \mathsf{2}&\mathsf{1}\\ \mathsf{3}&\mathsf{4} \end{bmatrix}$


•  Propriedade (I):

$\mathsf{det}\mathbf{(A\cdot B)}=\mathsf{det\,}\mathbf{A}\cdot\mathsf{det\,}\mathbf{B}\qquad\quad\checkmark$


•  Propriedade (II):

$\mathsf{det}(\mathbf{B}^\mathsf{T})=\mathsf{det\,}\mathbf{B}\qquad\quad\checkmark$

__________


Usando as propriedades, devemos ter:

$\mathsf{det}\mathbf{(A\cdot B^{\mathsf{T}})}=\mathsf{det\,}\mathbf{A}\cdot \mathsf{det}(\mathbf{B}^{\mathsf{T}})\\\\ \mathsf{det}\mathbf{(A\cdot B^{\mathsf{T}})}=\mathsf{det\,}\mathbf{A}\cdot \mathsf{det\,}\mathbf{B}\qquad\quad\mathsf{(i)}$


Calculando o determinante de cada matriz dada:

$\mathsf{det\,}\mathbf{A}=\begin{vmatrix} \mathsf{1}&\mathsf{2}\\\mathsf{4}&\mathsf{5} \end{vmatrix}\\\\\\ \mathsf{det\,}\mathbf{A}=\mathsf{1\cdot 5-4\cdot 2}\\\\ \mathsf{det\,}\mathbf{A}=\mathsf{5-8}\\\\ \mathsf{det\,}\mathbf{A}=\mathsf{-3}\qquad\quad\checkmark$


$\mathsf{det\,}\mathbf{B}=\begin{vmatrix} \mathsf{2}&\mathsf{1}\\\mathsf{3}&\mathsf{4} \end{vmatrix}\\\\\\ \mathsf{det\,}\mathbf{B}=\mathsf{2\cdot 4-3\cdot 1}\\\\ \mathsf{det\,}\mathbf{B}=\mathsf{8-3}\\\\ \mathsf{det\,}\mathbf{B}=\mathsf{5}\qquad\quad\checkmark$


Subsituindo na equação $\mathsf{(i)},$ finalmente obtemos

$\mathsf{det}\mathbf{(A\cdot B^{\mathsf{T}})}=\mathsf{-3\cdot 5}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{det}\mathbf{(A\cdot B^{\mathsf{T}})}=\mathsf{-15} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Resposta: alternativa B) – 15.


Bons estudos! :-)