Question

Faça utilizando produto notáveis

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Letra a)

Fazendo “alpha” = x, temos:

sen³(x) + cos³(x) = [sen(x) + cos(x)][sen²(x) - sen(x)cos(x) + cos²(x)] ** =

[sen(x) + cos(x)][sen²(x) + cos²(x) * - sen(x)cos(x)] =

[sen(x) + cos(x)][1 - sen(x)cos(x)] (i)

Do enunciado, temos:

sen(x) + cos(x) = m =>

sen²(x) + cos²(x) + 2sen(x)cos(x) = m² =>

1 + 2sen(x)cos(x) = m² =>

2sen(x)cos(x) = m² - 1 =>

sen(x)cos(x) = (m² - 1)/2 (ii)

Lembrando que sen(x) +cos(x) = m e de (ii), temos que (i) vale:

m[1 - (m² - 1)/2] =

m[2/2 - (m² - 1)/2] =

m[2 - (m² - 1)]/2 =

m/2(2 - m² + 1) =

m/2(3 - m²) =

m(3 - m²)/2

Logo:

sen³(x) + cos³(x) = m(3 - m²)/2

Letra b)

[sen²(x)]² + [cos²(x)]² =

[sen²(x) + cos²(x)]² - 2sen²(x)cos²(x) ** =

1² - 4/2sen²(x)cos²(x) =

1 - [2sen(x)cos(x)]²/2 =

1 - (m² - 1)²/2 =

2/2 - (m² - 1)²/2 =

[2 - (m² - 1)²]/2

Logo:

[sen²(x)]² + [cos²(x)]² = [2 - (m² - 1)²]/2

* sen²(x) + cos²(x) = 1, para todo x real. Tal relação é conhecida como Identidade Trigonométrica Fundamental.

** Foram usadas as seguintes identidades algébricas notáveis:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

(a²)² + (b²)² = (a² + b²)² - 2a²b²

Abraços!