faça um fluxograma do processo de obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica composta
Soluções para a tarefa
Resposta:
Primeiramente afirmo: todo número decimal com parte inteira pode ser escrito como uma fração composta. Por exemplo:
1,75 = 1 + 0,75 = 1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}1,75=1+0,75=1+43=143=47
Se tiver, por exemplo, o número 1,17171...
Tem-se que ele será igual a 1 + 0,1717...
Se:
\begin{gathered}x = 0,171717...\\100x = 17,171717...\\100x - x = 17,171717... - 0,171717...\\99x = 17\\x = \frac{17}{99}\\1,171717... = 1\frac{17}{99}\end{gathered}x=0,171717...100x=17,171717...100x−x=17,171717...−0,171717...99x=17x=99171,171717...=19917
Repetindo para uma dízima periódica composta:
0,18282...
\begin{gathered}10x = 1,8282...\\1000x = 182,8282...\\1000x - 10x = 182,8282... - 1,8282... = 181\\990x = 181 \therefore x = \frac{181}{990}\end{gathered}10x=1,8282...1000x=182,8282...1000x−10x=182,8282...−1,8282...=181990x=181∴x=990181
Normalmente se ensina que uma fração geratriz é sempre dada por:
I\frac{\phi-\alpha}{9...90...0}I9...90...0ϕ−α
Onde I é a parte inteira da dízima periódica, Ф é o número formado pelo período e aperíodo e α o número formado pelo aperíodo. Aquela diferença é dividida por 9...90...0, onde o número de 9's é o número de casas do período e o número de 0's é o número de casas do aperíodo. Não estou aqui para provar isso, embora possa.
Explicação passo-a-passo: