Question

Faça o que se pede nos itens.1-Determine cada seno a seguir.a) sen 420°b) sen 13π/4c) sen 17π/3d) sen (-150°)2-Sabendo que x ∈ [0, 2π] e sen x=-√3/2,calcule x.

Answer 1

Resposta:

1)

a )    $\frac{\sqrt{3} }{2}$

b)  $-\frac{\sqrt{2} }{2}$

c)  $-\frac{\sqrt{3} }{2}$

d) $-\frac{1}{2}$

2)  $S=( \frac{4\pi }{3} ;\frac{5\pi }{3} )$

Resolução passo a passo :

1 a) sen 420º

Como o ângulo é de 420º, logo superior a 360º, uma volta completa no

circulo trigonométrico, fazemos 420 - 360 = 60º

Então quer é o :

$sen(60) = \frac{\sqrt{3} }{2}$

1 b) $sen(\frac{13\pi }{4} ) = ?$

Em radianos uma volta completa são 2π rad ou $\frac{8\pi }{4} =2\pi$

$\frac{13\pi }{4} -\frac{8\pi }{4} =\frac{5\pi }{4}$

O que procura é :

$sen(\frac{5\pi }{4})$

Repare que $sen(\frac{5\pi }{4})$ fica no meio do terceiro quadrante do circulo trigonométrico.

Então

$sen(\frac{5\pi }{4})=-sen(\frac{\pi }{4} )=\p-\frac{\sqrt{2} }{2}$

1 c)  $sen(\frac{17\pi }{3})=?$

Uma volta completa ao circulo trigonométrico é 2π

$2\pi =\frac{6\pi }{3}$

Duas voltas completas é  

$2*(2\pi) =2*\frac{6\pi }{3}=\frac{12\pi }{3}$

Três voltas completas é :

$3*(2\pi) =3*\frac{6\pi }{3}=\frac{18\pi }{3}$

então

$\frac{18\pi }{3} -\frac{\pi }{3} =\frac{17\pi }{3}$

O que procura é o :

$sen(-\frac{\pi }{3} )=-sen(\frac{\pi }{3}) =-\frac{\sqrt{3} }{2}$  

1 d)

$sen( -150) =?$

$sen(-150)=-sen ( -150+180) = -sen(30)=-\frac{1}{2}$

2 )

x ∈ [ 0 ; 2π [    

$sen(x) = -\frac{\sqrt{3} }{2}$

É uma equação trigonométrica.

sen (x) = sen (α)

⇔

$x= \alpha +2k\pi--- ou---x=(\pi -\alpha )+2k\pi$

com k ∈ Z

Neste caso:

$\alpha =-\frac{\pi }{3}$

$x= -\frac{\pi }{3} +2k\pi--- ou---x=(\pi -(-\frac{\pi }{3} ) )+2k\pi$   com k ∈ Z

$x= -\frac{\pi }{3} +2k\pi--- ou---x=(\pi +\frac{\pi }{3} )+2k\pi$    

$x= -\frac{\pi }{3} +2k\pi--- ou---x=(\frac{4\pi }{3} )+2k\pi$    

Se k = 0

$x= -\frac{\pi }{3} +(2*0)\pi--- ou---x=(\frac{4\pi }{3} )+(2*0)\pi$

então

$x = -\frac{\pi }{3}$    não serve, pois  ∉ [ 0 ; 2π [  

$x = \frac{4\pi }{3}$     serve pois este ∈ [ 0 ; 2π [  

Se  k = 1

$x= -\frac{\pi }{3} +(2*1)\pi--- ou---x=(\frac{4\pi }{3} )+(2*1)\pi$

$x= -\frac{\pi }{3} +2\pi--- ou---x=(\frac{4\pi }{3} )+2\pi$

$x= -\frac{\pi }{3} +\frac{6\pi }{3} --- ou---x=(\frac{4\pi }{3} )+\frac{6\pi }{3}$

$x= \frac{5\pi }{3}$    este serve porque  ∈ [ 0 ; 2π [  

$x=\frac{10\pi }{3}$   não serve, pois  ∉ [ 0 ; 2π [  

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicar      ( ∈ )   pertence a       ( ∉ )  não pertence

( Z ) conjunto dos números inteiros