8. (UERJ) Considere o triangulo ABC abaixo,
onde os ângulos A, B e C estão em progressão
aritmética crescente.
Determine os valores de cada um desses ángulos, respectivamente, nas seguintes condições:
a) sen A+sen B+sen C = 3+√3/3
b) AB=2BC.
Soluções para a tarefa
Os valores de cada ângulo são: A = 30º, B = 60º e C = 90º.
Se os três ângulos estão em progressão aritmética, então podemos dizer que:
- A = x - r
- B = x
- C = x + r.
Observe que AB é o maior lado e BC é o menor lado.
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
Dito isso, temos que:
x - r + x + x + r = 180
3x = 180
x = 60º.
Assim, ficamos com:
- A = 60 - r
- B = 60
- C = 60 + r.
a) Do enunciado, temos a informação de que sen(A) + sen(B) + sen(C) = (3 + √3)/2.
Ou seja:
sen(60 - r) + sen(60) + sen(60 + r) = (3 + √3)/2.
Vale lembrar que o seno da soma e da diferença são definidos por:
- sen(x + y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x)
- sen(x - y) = sen(x).cos(y) - sen(y).cos(x).
Portanto:
sen(60).cos(r) - sen(r).cos(60) + sen(60) + sen(60).cos(r) + sen(r).cos(60) = (3 + √3)/2.
Sabendo que sen(60) = √3/2 e cos(60) = 1/2:
√3/2.cos(r) - sen(r).1/2 + √3/2 + √3/2.cos(r) + sen(r).1/2 = (3 + √3)/2
√3cos(r) + √3/2 = (3 + √3)/2
√3cos(r) + √3/2 = 3/2 + √3/2
√3cos(r) =3/2
cos(r) = √3/2
r = 30º.
Logo, os ângulos são:
- A = 60 - 30 = 30º
- B = 60º
- C = 60 + 30 = 90º.
b) Considere que BC = x. Assim, temos que AB = 2x.
Pela lei dos senos, temos que:
x/sen(A) = 2x/sen(C)
x/sen(60 - r) = 2x/sen(60 + r)
1/sen(60 - r) = 2/sen(60 + r)
sen(60 + r) = 2sen(60 - r).
Utilizando o seno da soma e da diferença:
sen(60).cos(r) + sen(r).cos(60) = 2(sen(60).cos(r) - sen(r).cos(60))
√3/2.cos(r) + sen(r).1/2 = 2(√3/2.cos(r) - sen(r).1/2)
√3/2.cos(r) + sen(r).1/2 = √3.cos(r) - sen(r)
√3/2cos(r) - √3.cos(r) + sen(r)/2 + sen(r) = 0
-√3/2cos(r) + 3/2sen(r) = 0
3/2sen(r) = √3/2cos(r)
sen(r) = √3/3.cos(r).
Utilizando a relação fundamental da trigonometria, obtemos que cos(r) = √3/2 ∴ r = 30º.
Assim, obtemos:
- A = 60 - 30 = 30º
- B = 60º
- C = 60 + 30 = 90º.