Question

Faça o que se pede
A) os números k-3, k+7 e 6k-3 formam, nessa ordem, uma PG. Calcule k
B) calcule o oitavo termo de uma PG na qual a2=10 raiz de 6 e a4= 20 raiz de 6

Answer 1

A) Sabemos que em uma PG, para descobrir a razão, podemos dividir um termo pelo seu anterior, assim, podemos fazer:

PG(k-3, k+7,6k-3)

$\frac{6k-3}{k+7} = q \\ \\ \frac{k+7}{k-3} = q$

Como as duas divisões são iguais a q, então podemos igualar as duas:]

$\frac{6k-3}{k+7} = \frac{k+7}{k-3}$

Multiplicando em cruz:

$(6k-3).(k-3) = (k+7).(k+7) \\ \\ 6 k^{2}-18k-3k+9 = k^{2} + 7k+7k+49 \\ \\ 6 k^{2}-21k+9 = k^{2} + 14k+49 \\ \\ 6 k^{2}-k^{2}-21k-14k+9-49 = 0 \\ \\ 5 k^{2}-35k-40 = 0$

Δ = (-35)²-4 . 5 . (-40)
Δ =1225+800
Δ =2025

$k = \frac{-(-35)+- \sqrt{2025} }{2.5} \\ \\ k = \frac{35+- 45 }{10} \\ \\ k_{1} = \frac{35+45 }{10} = \frac{80}{10} =8 \\ \\ k_{2} = \frac{35-45 }{10} = \frac{-10}{10} =-1$

Logo,  k = 8 ou k = -1

B) Sabemos que a fórmula do termo geral de uma PG é:

 $a_{n} = a_{1}. q^{n-1}$

Como:

$a_{2} =10 \sqrt{6} \\ a_{2} = a_{1}. q^{2-1} \\ a_{2} = a_{1}. q \\ a_{1}. q =10 \sqrt{6} \\ \\ a_{4} =20 \sqrt{6} \\ a_{4} = a_{1}. q^{4-1} \\ a_{4} = a_{1}. q^{3} \\ a_{1}. q^{3} =20 \sqrt{6}$

Temos um sistema de duas equações envolvendo q e a1:

$a_{1}. q =10 \sqrt{6} \\ a_{1}. q^{3} =20 \sqrt{6}$

Na primeira equação fazemos:

$a_{1}= \frac{10 \sqrt{6}}{q}$

Substituímos na segunda:

$a_{1}. q^{3} =20 \sqrt{6} \\ \\ \frac{10 \sqrt{6}}{q}. q^{3} =20 \sqrt{6} \\ \\ 10 \sqrt{6}. q^{2} = 20 \sqrt{6} \\ \\ q^{2} = \frac{20 \sqrt{6}}{10 \sqrt{6}} \\ \\ q^{2} = 2 \\ \\ q = \sqrt{2}$

Encontrando a1:

$a_{1}= \frac{10 \sqrt{6}}{q} \\ \\ a_{1}= \frac{10 \sqrt{6}}{ \sqrt{2} } \\ \\ a_{1}= 10. \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{2} } \\ \\ a_{1}= 10. \sqrt{ \frac{6}{2} } \\ \\ a_{1}= 10 \sqrt{3}$

Como ja temos a1 e q, vamos encontrar o 8° termo:

$a_{8} = a_{1}. q^{8-1} \\ a_{8} = a_{1}. q^{7} \\ \\ a_{8} = (10 \sqrt{3}). ( \sqrt{2} )^{7} \\ a_{8} = 10 \sqrt{3}. \sqrt{2^{7}} \\ a_{8} = 10 \sqrt{3}. 8\sqrt{2} \\ \\ \boxed{\boxed{a_{8} = 80 \sqrt{6} }}$