Question

faça o gráfico da função
$f(x) = \frac{3 + x}{4 - x}$
e de sua inversa no mesmo plano cartesiano

Answer 1

Olá!
 
   
     Note que há uma assíntota horizontal em    $y = -1,$   pois 

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{3+x}{4-x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x(\frac{3}{x}+1)}{x(\frac{4}{x}-1)}=-1.$

O mesmo vale para   $x\to-\infty.$


    Agora,


$f(x) = \dfrac{3+x}{4-x}\Rightarrow f'(x) = \dfrac{(4-x)-(3+x)(-1)}{(4-x)^2} = \dfrac{7}{(4-x)^2}.\\ \\ \\ \text{Note que f'(x)\ \textgreater \ 0\;\forall x\in\mathbb{R}-\{4\} .}$
  
     Ou seja,   $f$   é estritamente crescente (pois a derivada primeira é estritamente positiva).

     Perceba também que, quando  $x\to4^-$   temos  $f(x)\to+\infty$   e quando   $x\to 4^+$   temos   $f(x)\to-\infty.$
 
    Ainda,

$f'(x)=\dfrac{7}{(4-x)^2}\Rightarrow f''(x) = \dfrac{-7(2x-8)}{(4-x)^4}=\dfrac{-14x+56}{(4-x)^4}\\ \\ \\ \text{Da\'{\i},}\\ \\ f''(x)\ \textgreater \ 0\Leftrightarrow 14x\ \textless \ 56\Leftrightarrow x\ \textless \ \dfrac{56}{14}=\dfrac{28}{7}=4,\;\;\text{ou seja,}\\ \\ f''(x)\ \textgreater \ 0\Leftrightarrow x\ \textless \ 4\;\;\text{e}\;\;f''(x)\ \textless \ 0\Leftrightarrow x\ \textgreater \ 4.\\ \\ \text{Logo, f tem concavidade para cima em ]-\infty,4[ e tem }\\ \text{concavidade para baixo em ]4,+\infty[ .}$


    Alguns pontos importantes para o gráfico:

$x=0\Rightarrow f(x) = \dfrac{3}{4}\\ \\ \\ y=0\Leftrightarrow f(x) = 0\Leftrightarrow \dfrac{3+x}{4-x}=0\Leftrightarrow 3+x=0\Leftrightarrow x=-3.\\ \\ \\ \text{Isto \'e, os pontos \left(0,\frac{3}{4}\right) e (-3,0) est\~ao no gr\'afico.}$

Ainda:

$\text{Se }f(x)=y = \dfrac{3+x}{4-x},\text{ ent\~ao, }\\ \\ \\ x = \dfrac{3+y}{4-y}\Rightarrow 4x-xy=3+y\Rightarrow 3+y+xy=4x\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow y(x+1)=4x-3\Rightarrow y = \dfrac{4x-3}{x+1}=f^{-1}(x)\;\text{\'e a inversa.}$


    Com essas informações fica simples traçar o gráfico. Note que a inversa é simétrica em relação à identidade   $y=x.$   Veja imagem anexa (a função original está na cor AZUL, a reta identidade está em vermelho e a inversa está na cor VERDE).




Bons estudos!