Question

faça o estudo do sinal de cada uma das funções de R em R, definidas pelas seguintes leis
a) y= -3x² - 8x +3
b) y= 4x² +x -5

Answer 1

Para as funções a seguir, calcularemos o valor do discriminante $\Delta$ e observaremos o sinal do coeficiente $a$ do termo quadrático:

$y=ax^{2}+bx+c$

$\Delta=b^{2}-4ac$

Caso existam, as raízes (zeros) são dadas por

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$


a) $y=-3x^{2}-8x+3$

$a=-3<0$ (o gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo)

$\Delta=\left(-8 \right )^{2}-4\cdot \left(-3 \right )\cdot \left(3 \right )\\ \\ \Delta=64+36\\ \\ \Delta=100>0$
(a função tem duas raízes reais distintas)

Calculando as raízes:

$x=\frac{-\left(-8 \right )\pm\sqrt{100}}{2\cdot \left(-3 \right )}\\ \\ x=\frac{8\pm 10}{-6}=\frac{4 \pm 5}{-3}\\ \\ x_{1}=\frac{4+5}{-3} \Rightarrow \boxed{x_{1}=-3}\\ \\ x_{2}=\frac{4-5}{-3} \Rightarrow \boxed{x_{2}=\frac{1}{3}}$


Como $a<0$, o sinal da função é representado graficamente assim

$\overset{-}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{-3}{\bullet}\overset{+}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{\frac{1}{3}}{\bullet}\overset{-}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}$


$y<0$, quando $x<-3$ ou $x>\frac{1}{3}$;

$y=0$, quando $x=-3$ ou $x=\frac{1}{3}$;

$y>0$, quando $-3<x<\frac{1}{3}$.


b) $y=4x^{2}+x-5$

$a=4>0$ (o gráfico é uma parábola com concavidade para cima)

$\Delta=\left(1 \right )^{2}-4\cdot \left(4 \right )\cdot \left(-5 \right )\\ \\ \Delta=1+80\\ \\ \Delta=81 >0$
(a função tem duas raízes reais distintas)

Calculando as raízes:

$x=\frac{-\left(1 \right ) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot \left(4 \right )}\\ \\ x=\frac{-1 \pm 9}{8}\\ \\ x_{1}=\frac{-1-9}{8} \Rightarrow \boxed{x_{1}=-\frac{5}{4}}\\ \\ x_{2}=\frac{-1+9}{8} \Rightarrow \boxed{x_{2}=1}$


Como $a>0$, o sinal da função é representado graficamente assim

$\overset{+}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{-\frac{5}{4}}{\bullet}\overset{-}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{1}{\bullet}\overset{+}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}$


$y<0$, quando $-\frac{5}{4}<x<1$;

$y=0$, quando $x=-\frac{5}{4}$ ou $x=1$;

$y>0$, quando $x<-\frac{5}{4}$ ou $x>1$.

Answer 2

O estudo de sinais das funções são:

a) Negativa em ]-∞, -3[ e ]-1/3, +∞[ e positiva em ]-3, 1/3[.

b) Negativa em ]-5/4, 1[ e positiva em ]-∞, -5/4[ e ]1, +∞[.

Equações do segundo grau

As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Para encontrar as raízes dessas equações, devemos utilizar a fórmula de Bhaskara, dada por:

$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\Delta=b^2-4ac$

No estudo de sinais desse tipo de função, devemos conhecer o sinal do coeficiente a e as raízes da função.

a) As raízes são:

Δ = (-8)² - 4·(-3)·3

Δ = 100

x = [8 ± √100]/2·(-3)

x = [8 ± 10]/-6

x' = -3

x'' = -1/3

Como a < 0, a concavidade está voltada para baixo, então a função é positiva no intervalo entre as raízes e negativa para o resto:

• Negativa: ]-∞, -3[ e ]-1/3, +∞[

• Positiva: ]-3, 1/3[

      -3       -1/3

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b) As raízes são:

Δ = (-1)² - 4·4·(-5)

Δ = 81

x = [-1 ± √81]/2·4

x = [-1 ± 9]/8

x' = 1

x'' = -5/4

Como a > 0, a concavidade está voltada para cima, então a função é negativa no intervalo entre as raízes e positiva para o resto:

• Negativa: ]-5/4, 1[

• Positiva: ]-∞, -5/4[ e ]1, +∞[

    -5/4     1

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