Question

Faça a integração pelo o metodo da substituição

∫$x^2 \sqrt[3]{3x^3 + 7}$

Answer 1

Olá


$\displaystyle \int x^2 \sqrt[3]{3x^3+7} ~dx \\ \\ \\ \text{Primeiro, vamos transformar a raiz em uma exponencial com a regra} \\ \\ \sqrt[n]{x^m} ~=x^ \frac{m}{n} \\ \\ \\ \int x^2(3x^3+7)^{ \frac{1}{3} }~dx \\ \\ \\ \text{Fazendo a substituicao udu} \\ \\ \\ \mathsf{u=3x^3+7} \\ \mathsf{du=9x^2} \\ \\ \mathsf{\frac{1}{9} du=x^2dx}~~~~~~~ ~~~~ ~\text{Passei o 9 para o outro lado dividindo.}$

$\displaystyle \text{Note que o }x^2dx \text{ vai virar o } \frac{1}{9}du, \text{ Tira a constante de 'dentro'}\\\text{da integral, e ficara somente o du} \\ \\ \\ \frac{1}{9} \int u^ \frac{1}{3} du \\ \\ \\ = \frac{1}{9} \cdot \left.\left(\dfrac{u^{ \frac{1}{3} +1}}{ \frac{1}{3}+1 }\,\right)$

$\displaystyle = \frac{1}{9} \cdot \left.\left(\dfrac{u^{ \frac{4}{3}}}{ \frac{4}{3} }\,\right)$

$\displaystyle = \frac{1}{\diagup\!\!\!\!9} \cdot \diagup\!\!\!\!3\cdot\dfrac{u^{ \frac{4}{3}}}{ 4 } \\ \\ \\ = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{ \frac{4}{3} }}{4} \\ \\ \\ = \frac{u^{ \frac{4}{3} }}{12} \\ \\ \\ \text{Voltando com }3x^3+7~\text{no lugar do 'u'} \\ \\ \\ = \boxed{\frac{(3x^3+7)^ \frac{4}{3} }{12} +C} \\ \\ \\ \text{Ou se preferir dar a resposta em forma de raiz} \\ \\ \\ =\boxed{ \frac{ \sqrt[3]{(3x^3+7)^4} }{12} +C}$

Answer 2

$\displaystyle \int x^2\sqrt[3]{3x^3+7}dx$
substituindo:
$3x^3+7=u$
encontraremos:
$\displaystyle \frac{du}{dx}=9x^2\implies du=9x^2dx\implies \frac{du}{9}=x^2dx$
logo:
$\displaystyle \int x^2\sqrt[3]{u}dx=\frac{1}{9}\int \sqrt[3]{u}du$
integrando:
$\displaystyle \frac{1}{9}\int u^{\frac{1}{3}}du=\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4}+c=\frac{1}{12}(\sqrt[3]{u})^4+c$
Substituindo u pela sua respectiva função:
$\displaystyle u=3x^3+7\implies \int x^2\sqrt[3]{3x^3+7}dx=\boxed{\frac{1}{12}\left(\sqrt[3]{3x^3+7}\right)^4+c}$