Question

Faça: √2x -1 +  √x+3 = 3.  A solução deve dar S= {1}

OBS: A raiz quadrada está em todo "2x-1" e todo "x+3".

Obrigada desde já!

Answer 1

$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 3} = 3$

Elevando os 2 lados da equação ao quadrado:

$(\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 3})^{2} = 3^{2}$

Resolvendo o quadrado da soma:

$\sqrt{2x - 1}^{2} + 2* \sqrt{2x - 1}* \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3}^{2} = 9$
$2x - 1 + 2* \sqrt{(2x - 1)(x + 3)} + x + 3 = 9$
$3x + 2 + 2* \sqrt{2x^{2} + 6x - x - 3} = 9$
$2* \sqrt{2x^{2} + 5x - 3} = 9 - 3x - 2$
$2* \sqrt{2x^{2} + 5x - 3} = 7 - 3x$

Elevando os 2 lados ao quadrado novamente:

$(2* \sqrt{2x^{2} + 5x - 3})^{2} = (7 - 3x)^{2}$
$4*(2x^{2} + 5x - 3) = 7^2 - 2*7*3x + (3x)^2$
$8x^{2} + 20x - 12= 49 - 42x + 9x^{2}$
$8x^{2} - 9x^{2} + 20x + 42x - 12 - 49 = 0$
$- x^{2} + 62x - 61 = 0$

$S = \frac{- b}{a} = \frac{- 62}{- 1} = 62$
$P = \frac{c}{a} = \frac{- 61}{- 1} = 61$

As raízes são 2 números que quando somados dão 62 e quando multiplicados dão 61

$x' = 61$
$x'' = 1$

Testando x = 61:

$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 3} = 3$
$\sqrt{2*61 - 1} + \sqrt{61 + 3} = 3$
$\sqrt{122 - 1} + \sqrt{64} = 3$
$\sqrt{121} + 8 = 3$
$11 + 8 = 3$
$19 \neq 3$

61 não serve.

Testando x = 1:

$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 3} = 3$
$\sqrt{2*1 - 1} + \sqrt{1 + 3} = 3$
$\sqrt{2 - 1} + \sqrt{4} = 3$
$\sqrt{1} + 2 = 3$
$1 + 2 = 3$
$3 = 3$

S = {1}