Question

f(x)=x³ -3x² - aplicação de derivadas

Answer 1

$f(x)=x^{3}-3x^{2}$


Encontrando a primeira e a segunda derivadas:

$f'(x)=3x^{2}-6x\\ \\ f''(x)=6x-6$


a) Verificando os pontos críticos:

$f'(x)=0\\ \\ 3x^{2}-6x=0\\ \\ 3x\,(x-2)=0\\ \\ x_{1}=0\;\;\text{ e }\;\;x_{2}=2$


Para $x=0,$ temos

$f(0)=0^{3}-3\cdot 0^{2}\\ \\ f(0)=0$


Para $x=-2,$ temos

$f(2)=2^{3}-3\cdot 2^{2}\\ \\ f(2)=8-3\cdot 4\\ \\ f(2)=8-12\\ \\ f(2)=-4$


Os pontos críticos são $(0;\,0)\;\text{ e }\;(2;\,-4).$


Para a primeira derivada, temos que

$f'(x)=0\\ \\ 3x^{2}-6x=0\\ \\ 3x\,(x-2)=0\\ \\ x_{1}=0\;\;\text{ e }\;\;x_{2}=2\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{cl} f'(x)>0,&\text{quando }x<0\text{ ou }x>2\\ \\ f'(x)<0,&\text{quando }0<x<2 \end{array} \right.$


Logo,

$f$ é crescente em $(-\infty;\,0)\cup (2;\,+\infty).$

$f$ é decrescente em $(0;\,2).$


Pela mudança de sinal ao redor dos pontos críticos, temos também que

$f$ tem um máximo local em $x=0:$

$f$ tem um mínimo local em $x=2.$


(poderíamos ter usado também o teste da segunda derivada nos pontos críticos)


b) Encontrando os possíveis pontos de inflexão:

$f''(x)=0\\ \\ 6x-6=0\\ \\ 6x=6\\ \\ x=\frac{6}{6}\\ \\ x=1$


Analisando o sinal da segunda derivada ao redor do ponto $x=1,$ temos que

$\left\{ \begin{array}{cl} f''(x)<0,&\text{quando }x<1\\ \\ f''(x)>0,&\text{quando }x>1 \end{array} \right.$


Logo, o gráfico de $f$ tem

concavidade para cima em $(-\infty;\,1);$
 
concavidade para baixo em $(1;\,+\infty);$


e $f$ tem um ponto de inflexão em $x=1:$

$f(1)=1^{3}-3\cdot 1^{2}\\ \\ f(1)=1-3\\ \\ f(1)=-2$


O ponto de inflexão é o ponto $(1;\,-2).$


c) Vamos encontrar as raízes de $f:$

$f(x)=0\\ \\ x^{3}-3x^{2}=0\\ \\ x^{2}\,(x-3)=0\\ \\ x_{1}=0\;\;\text{ e }\;\;x_{2}=3$


O gráfico de $f$ cruza o eixo $x$ nos pontos $(0;\,0)\;\text{ e }(3;\,0).$


A única intersecção com o eixo $y$ é o ponto $(0;\,0):$

$x=0\;\;\Rightarrow\;\;f(0)=0.$


O esboço do gráfico de $f$ segue em anexo.