Question

f(x) = { X^3-8 / x-2 , se x≠2.
f(x) = { L, se x=2
no ponto p = 2​

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x {}^{3} - 8}{x - 2} , \: \: se \: \: x \neq 2 \\L, \: \: se \: x = 2\end{cases}$

Vamos lembrar que para uma função ser contínua, ela deve obedecer 3 restrições, são elas:

$\begin{cases}1) \: f(x) \to definida \\ \\ 2)\lim_{x \to a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x \to a {}^{ - } }f(x) \\ \\ 3)f(x) =\lim_{x \to a}f(x) \end{cases}$

1) Ela deve ser definida em tal ponto;

2) Os limites laterais da funções devem ser iguais, ou seja, o bilateral deve existir;

3) A função definida deve possuir o mesmo valor do limite bilateral.

Só pelo sinal de igualdade, sabemos que a função f(x) é sim definida quando x = 2 e ela possui como valor "L":

$1) \: f(2) = L$

Agora vamos ver os limites laterais da função:

$2) \: \lim_{x \to a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x \to a {}^{ - } }f(x) \\ \\ \lim_{x \to 2 {}^{ + } }f(x)= \lim_{x \to2 {}^{ - } }f(x)$

Como trata-se de limite, então temos que usar a expressão que é definida quando "x" é diferente de 2, pois o limite é a aproximação de um valor.

$\lim_{x \to2 {}^{ + } } \frac{x {}^{3} - 8}{x - 2} = \lim_{x \to2 {}^{ - } } \frac{x {}^{3} - 8}{x - 2}$

Se substituirmos o valor a qual o "x" tende de uma vez só, vamos nos deparar com uma indeterminação, então vamos manipular essa tal expressão.

$(x {}^{3} - 8) = (x - 2).(x {}^{2} + 2x + 4)$

Substituindo essa expansão:

$\lim_{x \to 2 {}^{ + } } \frac{ \cancel{( x - 2)}.(x {}^{2} + 2x + 4) }{ \cancel{x - 2}} = \lim_{x \to2 {}^{ - } }\frac{ \cancel{( x - 2)}.(x {}^{2} + 2x + 4) }{ \cancel{x - 2}} \\ \\ \lim_{x \to2 {}^{ + } }x {}^{2} + 2x + 4= \lim_{x \to2 {}^{ - } }x {}^{2} + 2x + 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\lim_{x \to2 {}^{ + } } (2 {}^{2} + 2.2 + 4)= \lim_{x \to2 {}^{ - } }(2 {}^{2} + 2.2 + 4) \\ \\ \lim_{x \to2 {}^{ + } }12 = \lim_{x \to2 {}^{ - } }12 \\ \\ 12 = 12$

Agora vamos partir para a altura restrição:

$3) \: f(x) = \lim_{x \to 2}f(x) \\ \\L = 12$

Espero ter ajudado