Question

F) Agora, responda: Será que entre dois números racionais sempre existirá um outro
racional? Justifique a sua resposta.​

Answer 1

Resposta:

Sim, existe.

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá, sabemos que os números racionais podem ser escrito em forma de fração (divisão de dois números inteiros)

Vamos tomar como sendo dois números racionais quaisquer em que r2>r1 :

$r_1=\frac{a}{b}\\r_2=\frac{c}{d}$

Se pegarmos

$r_3=\frac{r_1+r_2}{2}$  

$r_3-r_1=\frac{r_1+r_2}{2}-r_1=\frac{r_2-r_1}{2}>0$ pois r2>r1 . Logo r3 > r1.

$r_2-r_3=r_2-\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{r_2-r_1}{2}>0$ pois r2>r1 . Logo r3 < r2.

Logo como r3 > r1 e r3<r2 , r1<r3<r2 , logo o número está entre. Agora basta provar que ele é um número racional.

$r_3=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}=\frac{\frac{ad+bc}{bd}}{2}=\frac{ad+bc}{2bd}$ , mas ad+bc é um numero inteiro (pois a,b,c,d são) e 2*b*d também é inteiro, logo r3 é a divisão de 2 números inteiros, logo é racional.