Question

** (Extra) Um acidente de carro foi presenciado por 1/2745 da população de. O número f(t) de pessoas que soube do acontecimento após t horas é dado pela função abaixo, onde B é a população da cidade, e k e C são constantes. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente 3 horas após, então o tempo que se passou do acidente até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de (aproximadamente): *
​.

Answer 1

O tempo que se passou do acidente até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de aproximadamente 3,356 horas.

A função é dada por:

f(t) = B/(1 + C·e^-kt)

Sabemos que o acidente foi presenciado por 1/2745 da população, netão podemos dizer que f(0) = B·1/2745. Sabemos também que após 3 horas, 1/9 da população já sabia do acidente, então f(3) = B·1/9. Com estes valores, temos:

f(0) = B·1/2745

B/(1 + C·e^0) = B·1/2745

1/(1 + C) = 1/2745

1 + C = 2745

C = 2744

f(3) = B·1/9

B/(1 + 2744·e^-3k) = B·1/9

1 + 2744·e^-3k = 9

2744·e^-3k = 8

e^-3k = 2³/2³·7³

e^-3k = 7⁻³

Aplicando o logaritmo natural:

ln e^-3k = ln 7⁻³

-3k = -3·ln 7

k = ln 7

Precisamos agora calcular t para que f(t) = B·1/5, então:

B·1/5 = B/(1 + 2744·e^-t·ln 7)

1/5 = 1/(1 + 2744·e^-t·ln 7)

1 + 2744·e^-t·ln 7 = 5

2744·e^-t·ln 7 = 4

e^-t·ln 7 = 2²/2³·7³

e^-t·ln7 = 2⁻¹·7⁻³

Aplicando o logaritmo natural:

-t·ln 7 = ln 2⁻¹·7⁻³

-t·ln 7 = -ln 2 - 3·ln 7

t = (ln 2 + 3·ln7)/ln7

t = 3,356 h