Question

Expresse os limites a seguir como uma integral e calcule-os nos intervalos dados:

I) $\lim_{n \to \infty} x_isinx_i$Δ$x, [0, \pi ]$.

II) $\lim_{n \to \infty} (2 x_{i} ^{2} - 5 x_{i} )$Δ$x, [0,1].$

Answer 1

Para tomarmos a área de um gráfico fazemos o seguinte:
dividimos o intervalo I onde a função é definida em n partes de tamanho igual (supor que I = [a,b] - intervalo fechado de a até b)
a diferença entre eles é $\Delta x=b-a$, esse é o comprimento total do intervalo, vamos dividi-lo em partes menores e multiplicar pela altura do gráfico, isso vai criar vários retângulos cujas áreas serão dadas por:
$f(x_i)\Delta x$
onde
$\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}\\\\x_i=a+i\Delta x=a+\frac{i(b-a)}{n}$
então a área aproximada do gráfico é dada por
$\displaystyle A\approx f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+...+f(x_n)\Delta x=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$
observe que quanto mais subintervalos n dividirmos o intervalo mais próximo do valor da área chegaremos.
Desse modo obtemos a soma de Riemann:
$\displaystyle A=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$
que é a definição de integral definida.
Note que na sua pergunta não há o somatório, caso tomássemos o limite teríamos:
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(0+\frac{\pi}{n}\right)\sin\left(0+\frac{\pi}{n}\right)\frac{\pi}{n}=\frac{\pi}{\infty}\sin\left(\frac{\pi}{\infty}\right)\frac{\pi}{\infty}=0$
então estou tomando que são somas de Riemman que podem ser escritas como integrais definidas:
a)
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}x_i\sin(x_i)\frac{\pi-0}{n}=\int\limits_{0}^{\pi}x\sin xdx$
que é igual a:
$\displaystyle i)~~~~\int\limits_{0}^{\pi}x\sin xdx\\\ u=x~~ du=dx~~~v=-\cos x~~~dv=\sin xdx\\\\\text{integracao por partes:}~\int udv=uv-\int vdu\\\\ii)~~~\int\limits_{0}^{\pi} x\sin xdx=\left.-x\cos x\frac{}{}\right]_{0}^{\pi}+\int\limits_{0}^{\pi}\cos xdx\\\\iii)~~\int\limits_{0}^{\pi}x\sin xdx=\left[-x\cos x+\sin x\frac{}{}\right]_{0}^{\pi}=\pi-0=\boxed{\pi}$

b)
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}(2x_i^2-5x_i)\frac{1-0}{n}=\int\limits_{0}^{1}2x^2-5xdx$
basta calcular a integral de polinômio:
$\displaystyle i)~~~~\int\limits_{0}^{1}2x^2-5xdx=\left[\frac{2}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2\right]_{0}^{1}\\\\ii)~~~\int\limits_{0}^{1}2x^2-5x\,dx=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}-0=\boxed{-\frac{11}{6}}$

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