Question

Expressão: 
$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} /\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$

(Resposta = 3-2√2)

Agradeço se alguém puder me ajudar. ;)

Answer 1

$\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}$

Precisamos tirar as raízes do denominador

Multiplicando numerador e o denominador por √(3 + 2√2):

$\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}*\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}*\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\\\\\\\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}*\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{(3+2\sqrt{2})^{2}}}\\\\\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}*\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{3+2\sqrt{2}}$

Ainda não retiramos todas as raízes do denominador, mas vamos esquecê-lo por um momento, e desenvolver o numerador.

Sabemos que $\sqrt{a}*\sqrt{b}\rightleftharpoons\sqrt{a*b}$

$\frac{\sqrt{(3-2\sqrt{2})*(3+2\sqrt{2})}}{3+2\sqrt{2}}$

O que temos dentro da raiz é um produto notável: O produto da soma pela diferença de dois termos

$(a+b)(a-b)\rightleftharpoons a^{2}-b^{2}$

$\frac{\sqrt{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}}{3+2\sqrt{2}}\\\\\frac{\sqrt{9-2^{2}\sqrt{2^{2}}}}{3+2\sqrt{2}}\\\\\frac{\sqrt{9-4*2}}{3+2\sqrt{2}}\\\\\frac{\sqrt{9-8}}{3+2\sqrt{2}}\\\\\frac{\sqrt{1}}{3+2\sqrt{2}}\\\\\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$

Pronto. Agora vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador

Conjugado de 3 + 2√2 = 3 - 2√2

$\frac{1*(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})*(3-2\sqrt{2})}\\\\\frac{3-2\sqrt{2}}{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}\\\\\frac{3-2\sqrt{2}}{9-2^{2}\sqrt{2^{2}}}\\\\\frac{3-2\sqrt{2}}{9-4*2}\\\\\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}\\\\\frac{3-2\sqrt{2}}{1}\\\\3-2\sqrt{2}$

$\boxed{\boxed{\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}=3-2\sqrt{2}}}$