Question

Explique porque cada uma das operações elementares com linhas não afeta o conjunto das soluções de um sistema linear.

 

Mostre que se as equações lineares x1+kx2=c e x1+lx2=d tem o mesmo conjunto de soluções, então as duas equações são idênticas (isto é, k = l e c=d).

 

 

Answer 1

$1)$ Consideremos o sistema de equações:

$\begin{cases} \text{x}+\text{y}=\text{c} \\ \text{x}-\text{y}=\text{d} \end{cases}$

Somando as duas equações, tém-se:

$(\text{x}+\text{x})+(\text{y}-\text{y})=(\text{c}+\text{d})$

$2\text{x}=\text{c}+\text{d}$

$\text{x}=\dfrac{\text{c}+\text{d}}{2}$

Observemos que:

Se $\text{c}, \text{d}\in\mathbb{R}$ o sistema admite solução real.

Donde, concluímos que, as operações com linhas não afeta o conjunto das soluções de um sistema linear.


$2)$Se as equações lineares têm o mesmo conjunto de soluções, então $\text{x}_1=\text{x}_2$.

Façamos $\text{x}_1=\text{x}_2=1$.

Desta maneira, temos:

$\begin{cases} 1 + \text{k} = \text{c} \\ 1 + \text{l} = \text{d} \end{cases}$

Multiplicando a $1^{\circ}$ por $(-1)$, obtemos:

$\begin{cases} -1 - \text{k} = -\text{c} \\ 1 + \text{l} = \text{d} \end{cases}$

Somando as equações, temos:

$(1-1)+(\text{l}-\text{k})=(\text{d}-\text{c})$

$\text{l}-\text{k}=\text{d}-\text{c}$

$\text{l}-\text{d}=\text{k}-\text{c}$

Como as duas equações têm o mesmo conjunto solução, podemos afirmar que:

$\text{k}=\text{l}~\wedge~\text{c}=\text{d}$