Question

Existem situações práticas nas quais é bastante conveniente que se efetue uma mudança de coordenadas na integral tripla para coordenadas cilíndricas. Podem
os dizer que as coordenadas cilíndricas são as mesmas que as coordenadas polares ( variáveis r e °), com a variável do eixo Z permanece inalterada. Não devemos esquecer que o determinante do jacobiano, no caso de coordenadas cilíndricas, é r.
Calcule a integral...

Answer 1

Segue abaixo a resposta $\frac{6993 \pi }{4}$

Answer 2

A integral vale 10449π/4.

A integral definida em questão já foi posta em coordenadas cilíndricas. Deste modo, basta que resolvamos ela diretamente. A integral é:

$\int\limits^\pi_0 {\int\limits^3_0 {\int\limits^{25-r^2}_0 {7*(r - 30)} \, dz } \, dr } \, d\theta$

Vamos resolver primeiro a integral mais para dentro, ou seja, dz:

$\int\limits^\pi_0 {\int\limits^3_0 {\int\limits^{25-r^2}_0 {7*(r - 30)} \, dz } \, dr } \, d\theta  = \int\limits^\pi_0 {\int\limits^3_0 {7*(r - 30)*(25 - r^2)} \, dr } \, d\theta =\\\\ \int\limits^\pi_0 {\int\limits^3_0 {7*(25r - r^3 - 750 + 30r^2)} \, dr } \, d\theta$

Agora vamos resolver a segunda integral, dr:

$\int\limits^\pi_0 {\int\limits^3_0 {7*(25r - r^3 - 750 + 30r^2)} \, dr } \, d\theta = \\\\\int\limits^\pi_0 {7*(25*3^2/2 - 3^4/4 - 750*3 + 30*3^3/3 + 750*3)} \, d\theta = \\\\\int\limits^\pi_0 {7*(112,5 - 20,25 + 270 + 2250)} \, d\theta = \int\limits^\pi_0 {2612,25} \, d\theta$

Agora vamos resolver a última integral, dθ:

$\int\limits^\pi_0 {2612,25} \, d\theta = 2612,25*\pi = 2612,25\pi = \frac{261225\pi}{100} = \frac{52245\pi}{20} = \frac{10449\pi}{4}$

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