Question

Existe número racional cujo quadrado é 2?

Answer 1

Olá.

Chamemos esse número de x.

Se ele for racional, deveremos ter que x = p/q, onde p e q são inteiros e a fração é irredutível.

Seu quadrado deverá ser 2:

x² = 2

x =±√2 = p/q

Será que √2 é racional? Vejamos:

p/q = √2

p = q√2

p² = 2q²    (i)

E veja que p² é par, e, por isso, p deverá ser par também(pois ímpar x ímpar = ímpar, par x par = par)

Como p é par, é divisível por 2, logo, pode ser escrito como p = 2r.

Voltemos em (i):

p² = 2q²

(2r)² = 2q²

4r² = 2q²

q² = 2r²

Logo, q também deverá ser par.

Absurdo!

Nossa hipótese exige que a fração p/q seja irredutível, mas mostramos que tanto p quanto q são pares, logo, a fração pode ser simplificada. Como √2 não pode ser escrito como uma fração de dois inteiros(pois p e q são genéricos), concluímos que √2 não é racional.

Como calculamos o nosso número x como sendo √2 ou -√2, concluímos que x não pode ser racional   $\square$