Existe alguma potência de 2 , tal que seja possível rearranjar seus dígitos e obter uma outra potência de 2 ?
MattMático:
Acho que tem como provar sem tentativa e erro
Soluções para a tarefa
Respondido por
3
Olá Gabriel, bom dia!
Pensei no seguinte:
Bom! não faz sentido pensarmos em potências de 2 com um algarismo, pois de acordo com o enunciado, eles devem ser rearranjados. Isto posto, comecemos a avaliar potências com dois algarismos.
Tome e , onde . Ou seja,
Com efeito,
Até aqui, já poderíamos encerrar a prova de que o enunciado falha quando a potência possui dois dígitos. Afinal, sabemos que 9 não divide . A diferença entre as potências em questão, tem como resultado um número PAR de dois algarismos (alfa e beta próximos, caso contrário a quantidade de algarismos aumenta).
Podemos perceber melhor o que está acontecendo comparando alfa e beta. Façamos
Por conseguinte, avaliamos para potências de três algarismos.
Tomemos e , onde . Ou seja,
Com efeito,
Obs.: independente da escolha que fizermos ao arranjar os algarismos XYZ, na diferença entre as potências figurará sempre o NOVE. Em alguns casos (XYZ e ZYX), irá aparecer o 99; ficando mais fácil perceber o absurdo!
De modo análogo, fazemos com potências de mais algarismos.
Gabriel, não sei a resposta pode ser considerada completa. Mas, a ideia que tentei passar foi a seguinte: independente do número de dígitos da potência, a diferença entre elas (nas condições dada no enunciado) será SEMPRE um múltiplo de 9. No conjunto dos naturais, isto não é possível (como vimos em um caso)!
Pensei no seguinte:
Bom! não faz sentido pensarmos em potências de 2 com um algarismo, pois de acordo com o enunciado, eles devem ser rearranjados. Isto posto, comecemos a avaliar potências com dois algarismos.
Tome e , onde . Ou seja,
Com efeito,
Até aqui, já poderíamos encerrar a prova de que o enunciado falha quando a potência possui dois dígitos. Afinal, sabemos que 9 não divide . A diferença entre as potências em questão, tem como resultado um número PAR de dois algarismos (alfa e beta próximos, caso contrário a quantidade de algarismos aumenta).
Podemos perceber melhor o que está acontecendo comparando alfa e beta. Façamos
Por conseguinte, avaliamos para potências de três algarismos.
Tomemos e , onde . Ou seja,
Com efeito,
Obs.: independente da escolha que fizermos ao arranjar os algarismos XYZ, na diferença entre as potências figurará sempre o NOVE. Em alguns casos (XYZ e ZYX), irá aparecer o 99; ficando mais fácil perceber o absurdo!
De modo análogo, fazemos com potências de mais algarismos.
Gabriel, não sei a resposta pode ser considerada completa. Mas, a ideia que tentei passar foi a seguinte: independente do número de dígitos da potência, a diferença entre elas (nas condições dada no enunciado) será SEMPRE um múltiplo de 9. No conjunto dos naturais, isto não é possível (como vimos em um caso)!
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