Question

EXERCÍCIOS DE LIMITE CALCULO 1 AJUDA

Answer 1

$\boxed{ \sf h)\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(x+3)^{3}-27}{x} }$

Como o valor a qual o "x" tende é "0", certamente se substituirmos esse valor no local de "x", iremos nos deparar com uma indeterminação, então faremos de uma vez só as devidas manipulações algébricas.

$\sf \frac{(x+3)^{3}-27}{x} = \frac{x {}^{3} + 9x {}^{2} + 9x + 27 - 27 }{x} = \\ \\ =\sf \frac{x {}^{3} + 9x {}^{2} + 9x }{x} = \frac{ \cancel{x}.(x {}^{2} + 9x + 9)}{ \cancel{x}} = x {}^{2} + 9x + 9 \\ \\ =\sf x {}^{2} + 9x + 9 = 0 {}^{2} + 9.0 + 9 = \boxed{\sf 9}$

Portanto:

$\boxed{ \sf\lim_{ x\rightarrow 0}\frac{(x+3)^{3}-27}{x} = 9}$

$\boxed{ \sf f)\lim_{x \rightarrow4} \left[ \frac{(x - 4) {}^{3} }{ |4 - x| } \right]}$

Pela razão de haver um módulo no denominador, teremos que analisar os limites laterais desse limite bilateral.

$\sf\lim_{x \rightarrow4 {}^{ + } } \left[ \frac{(x - 4) {}^{3} }{ |4 - x| } \right] \\ \\ \sf\lim_{x \rightarrow4 {}^{ - } } \left[ \frac{(4- x) {}^{3} }{ |4 - x| } \right]$

De acordo com a definição algébrica de módulo, temos que:

$\sf |x| \rightarrow \begin{cases} \sf x , \: se \: \:x \geqslant 0 \\ \sf - x, \: se \: x < 0 \end{cases}$

Aplicando essa tal definição na expressão do denominador:

$\sf |4 - x| \rightarrow \begin{cases} \sf( 4 - x), \: se \: \: 4 - x \geqslant 0 \therefore x \leqslant 4\\ \sf - (4 - x) , \: se \:4 - x < 0 \therefore x > 4\: \end{cases}$

• Tendo montado essas relações, vamos partir para os cálculos dos limites laterais:

O primeiro limite lateral a ser calculado será quando o "x" tende a 4 para valores a direita dele, ou seja, maiores que ele, portanto usaremos a segunda equação:

$\sf \lim_{x \rightarrow4 {}^{ + } } \left[ \frac{(x - 4) {}^{3} }{ - (4 - x) } \right] \\ \\ \sf \frac{(x - 4) {}^{3} }{ - (4 - x)} = \frac{(x - 4) {}^{2} . \cancel{(x - 4)}}{ \cancel{- 4 + x}} = (x - 4) {}^{2} = (4 - 4) {}^{2} = (0) {}^{2} = \boxed{ \sf0}$

Do mesmo jeito faremos para o limite tendendo pela esquerda do número 4, ou seja, valores menores que "4", usaremos então a primeira equação.

$\sf \lim_{x \rightarrow4 {}^{ - } } \left[ \frac{(x - 4) {}^{3} }{ (4 - x)} \right] \\ \\ \sf \frac{(x - 4) {}^{3} }{4 - x} = \frac{(x - 4) {}^{2} .(x - 4)}{ 4- x} = \frac{(x - 4).(x {}^{2} - 8x + 16)}{4 -x} = \\ \\ =\sf \frac{ - 1.( - x + 4) {}^{3} }{4 - x} = \frac{ - 1.( -x + 4) {}^{2} .( \cancel{- x + 4)}}{ \cancel{ - x + 4 }} = - 1.( - x + 4) {}^{2} = \\ \\ \sf = - 1.( - x + 4).( - x + 4) = - 1.(x {}^{2} - 4x - 4x + 16) = \sf -x {}^{2} + 8x - 16 = \\ \\ = \sf -(4) {}^{2} + 8.4 - 16 = \sf - 16 + 32 - 16 = \sf - 32 + 32 = \boxed{ \sf 0 }$

Como os limites laterais existem e possuem o mesmo valor, o limite "global" também existirá e terá o mesmo valor que os limites laterais.

$\boxed{\sf \lim_{x \rightarrow4} \left[ \frac{(x - 4) {}^{3} }{ |x - 4| } \right] = 0}$

Espero ter ajudado